Proszę o pomoc w rozwiązaniu tych zadań oraz o dokładne tłumaczenie metod!
1C a)
Jaki jest związek między argumantami głównymi liczb zespolonych \(\displaystyle{ z, -iz}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{z}}\)?
1C b)
Wyznacz rzeczywiste liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) takie, że jednym z pierwiastków wielomianu \(\displaystyle{ W(x)= x^{4} + ax^{2} + b}\) jest liczba \(\displaystyle{ 3i + 2}\). Przez jaki wielomian rzeczywisty stopnia \(\displaystyle{ 2}\) musi dzielić się bez reszty wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\)? Wyznaczony wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) rozłóż na iloczyn wielomianów rzeczywistych nierozkładalnych.
2C a)
Wyznacz bazę i wymiar podprzestrzeni liniowej \(\displaystyle{ W = span {1 + x, x^{2}, -2 + 2x^{2}, -3x}}\) przestrzeli liniowej \(\displaystyle{ R_{2}[x]}\) wielomianów rzeczywistych stopnia \(\displaystyle{ \le 2}\).
2C b)
Zbadaj, czy wielomian \(\displaystyle{ U(x) = 4x - 1}\) należy do podprzestrzeni \(\displaystyle{ W}\).
3C a)
Sprawdź, że wektory \(\displaystyle{ U_{1} = [-1, 2, 3], U_{2} = [4, -1, 2], U_{3} = [1, 2, -1]}\) tworzą bazę ortogonalną przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\), względem standardowego iloczynu skalarnego.
3C b)
Wyznacz współrzędne wektora \(\displaystyle{ [1, 0, -1]}\) w tej bazie, wykorzystując to, że jest to baza ortogonalna.
3C c)
Czy podprzestrzeń \(\displaystyle{ W_{1} = span { U_{1}, U_{2} }}\) jest dopełnieniem ortogonalnym podprzestrzeni \(\displaystyle{ W_{2} = span { U_{3} }}\)? Dlaczego?
4C a)
Jaki jest związek między wartościami własnymi i wektorami własnymi macierzy \(\displaystyle{ A i B = (A^{-1})^{2}}\)? Dlaczego?
4C b)
Dlaczego wszystkie wartości własne macierzy \(\displaystyle{ A}\) są różne od zera?
4C c)
Co wiadomo o wartościach własnych macierzy trójkątnej i jak to krótko uzasadnić?
5C a)
Niech przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ f}\) przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\) w \(\displaystyle{ R^{2}}\) będzie dane wzorem \(\displaystyle{ f([x_{1}, x_{2}, x_{3}]) = [5x_{1} - 4x_{2} + 3x_{3}, 9x_{1} - 7x_{2} + 4x_{3}]}\). Wyznacz macierz tego przekształcenia w bazach jednostkowych przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\) i \(\displaystyle{ R^{2}}\).
5C b)
Wyznacz bazę obrazu tego przekształcenia. Jak sprawdzić, czy wektor \(\displaystyle{ w = [a, b]}\) należy do obrazu tego przekształcenia? Podaj definicję obrazu przekształcenia liniowego.
6C a)
Wyznacz rozwiązanie ogólne układu równań liniowych \(\displaystyle{ x_{1} - 2x_{2} - x_{3} = -4, 3x_{1} - 4x_{2} - 9x_{3} = 0, 5x_{1} - 9x_{2} - 8x_{3} = -14}\).
6C b)
Niech macierze \(\displaystyle{ A, B, A + B}\) będą nieosobliwe. Udowodnij, że \(\displaystyle{ (A^{-1} + B^{-1})^{1} = B(A+B)^{-1}A}\)
