Baza podprzestrzeni

[h3X]

Prosze o pomoc w wyznaczeniu bazy podprzestrzeni układu jednorodnego:

\(\displaystyle{ x_1 - 2x_2 + 3x_3 + x_4 = 0, 3x_1 - 5x_2 + 4x_3 + 4x_4 = 0}\)

[BettyBoo]

Najpierw rozwiąż ten układ, to Ci pokażę, jak znaleźć bazę mając rozwiązanie.

Pozdrawiam.

[h3X]

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&-2&3&1\\3&-5&4&4\\\end{array}\right] \rightarrow w_2-3w_1}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&-2&3&1\\0&1&-5&1\\\end{array}\right] \rightarrow w_1+2w_1}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&-7&3\\0&1&-5&1\\\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ n=4 , rzA=2}\)
\(\displaystyle{ dimS=n-rzA=4-2=2}\)

Zatem:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1=7x_3-3x_4\\x_2=5x_3+x_4\end{cases}}\)
Zatem:

\(\displaystyle{ S={ (7x_3-3x_4, 5x_3+x_4, x_3, x_4) , x_3, x_4 \in R }}\)

Dobrze zrobiłam?

[BettyBoo]

Dobrze zrobiłaś. A teraz tylko mały kroczek:

\(\displaystyle{ (7x_3-3x_4, 5x_3+x_4, x_3, x_4)=x_3(7,5,1,0)+x_4(-3,1,0,1)}\)

Zatem przykładową bazą jest \(\displaystyle{ ((7,5,1,0),(-3,1,0,1))}\).

Pozdrawiam.