Tw. Kroneckera-Capellego

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
vExus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 3 lut 2010, o 15:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: internet
Podziękował: 2 razy

Tw. Kroneckera-Capellego

Post autor: vExus »

Witam
Mam problem z takim zadaniem.
Korzystając z tw. Kroneckera-Capellego wyznaczyć \(\displaystyle{ \alpha}\) , dla których układ będzie:
a) oznaczony
b) nieoznaczony
c) sprzeczny

\(\displaystyle{ x+y=\alpha\\
x+\alpha*y=1 \\
\alpha*x+y=1}\)


\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1&\alpha\\1&\alpha&1\\\alpha&1&1\end{array}\right]}\)

Wiem, że:
a) rząd macierzy podstawowej i rozszerzonej muszą być równe, aby układ był oznaczony
b) rząd macierzy podstawowej i rozszerzonej muszą być równe i mniejsze od liczby niewiadomych, aby układ był nieoznaczony

Tyle, że nie wiem jak zabrać się za licznie tego...
Byłbym wdzięczny gdyby ktoś pokazał w jaki sposób to zrobić.
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Tw. Kroneckera-Capellego

Post autor: BettyBoo »

Oblicz wyznacznik tej macierzy i odpowiedz na pytanie - co Ci to daje i jaki to ma związek z tw K-C?

Pozdrawiam.
vExus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 3 lut 2010, o 15:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: internet
Podziękował: 2 razy

Tw. Kroneckera-Capellego

Post autor: vExus »

OK. Chyba wiem o co chodzi...
\(\displaystyle{ detB=- \alpha ^{3} +3\alpha -2=-(\alpha -1) ^{2} (\alpha +2)}\)

Przyjmijmy, że:
\(\displaystyle{ rz(A)}\) - rząd macierzy podstawowej
\(\displaystyle{ rz(B)}\) - rząd macierzy rozszerzonej
\(\displaystyle{ n=2}\), liczba niewiadomych

a) układ oznaczony, jeżeli \(\displaystyle{ rz(A)=rz(B)=n=2}\)
\(\displaystyle{ \alpha = -2}\)

b) układ nieoznaczony, jeżeli \(\displaystyle{ rz(A)=rz(B)<n}\)
\(\displaystyle{ \alpha = 1}\)

c) układ nieoznaczony, jeżeli \(\displaystyle{ rz(A)\neq rz(B)}\)
\(\displaystyle{ \alpha \in R- \lbrace -2;1 \rbrace}\)

Mógłby ktoś to sprawdzić?
Ostatnio zmieniony 3 lut 2010, o 17:39 przez vExus, łącznie zmieniany 3 razy.
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Tw. Kroneckera-Capellego

Post autor: BettyBoo »

Wiesz, że dzwonią, ale nie do końca wiesz, w którym kościele

Nie, to nie jest tak. Macierz, z której liczysz wyznacznik to wg Twoich oznaczeń jest macierz \(\displaystyle{ B}\), a nie \(\displaystyle{ A}\).

Podpowiedź: \(\displaystyle{ det(B)\neq 0\ \Leftrightarrow \ r(B)=3}\).

Zastanów się jeszcze raz.

Pozdrawiam.
vExus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 3 lut 2010, o 15:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: internet
Podziękował: 2 razy

Tw. Kroneckera-Capellego

Post autor: vExus »

Pomyliłem na początku oznaczenia, zamiast detA miało być detB. Już poprawione.

Resztę robiłem według tego co napisałaś.
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Tw. Kroneckera-Capellego

Post autor: BettyBoo »

To teraz masz prawie dobrze, tylko w c) "układ sprzeczny", ale to pewnie chochlik drukarski

Pozdrawiam.
vExus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 3 lut 2010, o 15:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: internet
Podziękował: 2 razy

Tw. Kroneckera-Capellego

Post autor: vExus »

Dokładnie - chochlik drukarski
Dzięki za pomoc
ODPOWIEDZ