Podprzestrzen liniowa

[Nethia]

Pokazac ze zbior wektorow postaci (x,2y,x-y), gdzie x i y sa liczbami rzeczywistymi tworzy podprzestrzen przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ R^{3}}\).

Nie mam pojecia jak zabrac sie za zadania.
Wiem jedynie tyle ze podprzestrzen musi miec mniejszy lub rowny wymiar. A tutaj to jest spelnione jak dobrze zauwazylam. Obydwa maja wymiar przestrzeni 3.

Oczywiscie znam warunki jakie musi spelnic podprzestrzen ale nie mam pojecia jak ich uzyc w tym zadaniu.

Z gory dziekuje za pomoc

[BettyBoo]

Bierzemy dowolne dwa wektory ze zbioru:

\(\displaystyle{ x=(a,2b,a-b),\ y=(c,2d,c-d)}\)

Teraz podstaw do warunków na podprzestrzeń i prawdź, czy otrzymujesz znowu wektor z tego zbioru.

Pozdrawiam.

[Nethia]

V bedzie to ta podprzestrzen
\(\displaystyle{ x + y \in V}\)
\(\displaystyle{ (a+c, 2(b+d), a-b+c-d)}\)
I teraz jak sprawdzic czy nalezy do przestrzeni?
chodzi o to zeby sprawdzic z danymi pierwotnymi?
x=a+c
2y=2(b+d)
x-y=a+c-b-d

a+c-b-d=a+c-b-d

A jak zając sie drugim warunkiem \(\displaystyle{ \alpha u \in V}\) gdzie \(\displaystyle{ \alpha \in K}\), a \(\displaystyle{ u \in V}\)

[BettyBoo]

Chodzi o to, czy otrzymany wektor jest takiej postaci, jak wektory w V. No to patrzymy:

\(\displaystyle{ x+y=(a+c, 2(b+d), (a+c)-(b+d))}\)

Czyli wektor jest postaci \(\displaystyle{ (t,2u,t-u),\ t,u\in\mathbb{R}}\), Czyli jest takiej postaci jak trzeba, prawda? No to mamy już \(\displaystyle{ x+y\in V}\).

Analogicznie dla drugiego warunku.

Pozdrawiam.

[Nethia]

czyli mnozymy przez dowolna liczbe \(\displaystyle{ \alpha}\) dowolny wektor z przestrzeni?
wektor (a,2b,a-b)
\(\displaystyle{ \alpha (a,2b,a-b)= ( \alpha a,2 \alpha b, \alpha a- \alpha b)}\)
\(\displaystyle{ \alpha a=t, \alpha b=u}\)
\(\displaystyle{ (t,2u,t-u)}\)
I tyle wystarczy?

[BettyBoo]

Tak, ale nie zapomnij, że jeszcze musi być \(\displaystyle{ t,u\in\mathbb{R}}\) (to część warunku na przynależność wektora do \(\displaystyle{ V}\)).

Pozdrawiam.

[Nethia]

dzieki bardzo