własnosci macierzy

[zaudi]

Przygotowuje się do egzaminu z algebry i w jednym z podpunktów mam podać własności macierzy przekształceń. No i w necie nie znalazłem nic sensownego. Byłbym wdzięczny gdyby ktoś coś wiedział na ten temat i odpisał.

[Kondrus]

1.
Wszystkie własności wyznaczników podane dla wierszy są prawdziwe dla kolum
\(\displaystyle{ detA=det^T}\)

2.
Jeśli macierz A ma wierszy zerowy to wyznacznik takiej macierzy równa się zero
\(\displaystyle{ det\begin{vmatrix} 1&2&3\\0&0&0\\7&8&9\end{vmatrix}=0}\)

3.
Przestawienie dwóch dowolnych wierszy w macierzy powoduje zmianę znaku macierzy
\(\displaystyle{ det\begin{vmatrix} 1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}=-det\begin{vmatrix} 7&8&9\\4&5&6\\1&2&3\end{vmatrix}}\)

4.
Stałą z wiersza można wyłączyć przed wyznacznik
\(\displaystyle{ det\begin{vmatrix} 4&6&8\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}=2det\begin{vmatrix}2&3&8\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}}\)

5.
Jeśli macierz A ma dwa identyczne lub proporcjonalne wiersze to wyznacznik detA=0

6.
Dodawanie do dowolnego wiersza macierzy innego wiersza pomnożonego przez stałą nie powoduje zmiany wartości wyznacznika (stosowane przy układach równań)

7.
Jeżeli pod przekątną macierzy znajdują się same zera to wyznacznik takiej macierzy równa sie iloczynowi elementów na przekątnej

\(\displaystyle{ det\begin{vmatrix} 1&2&3\\0&5&6\\0&0&9\end{vmatrix}=45}\)

8.Tw. Cauchy'ego

\(\displaystyle{ det (A\cdot B) = detA \cdot detB}\)