Cześć
Może ktos mi pomóc z tym zadankiem
Nie czaje wogóle jak sie to tego zabrać prosze o jakies wytłumaczenie lub pełniejsze rozwiązanie.
Znaleźć wartość i wektory własne macierzy.
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\1&1&0\\2&0&2\end{array}\right]}\)
Dzięki
Wartość i wektory własne macierzy
Wartość i wektory własne macierzy
Należy policzyć wyznacznik macierzy:
\(\displaystyle{ \Delta (\lambda) = \begin{vmatrix} 1-\lambda&0&0\\1&1-\lambda&0\\2&0&2-\lambda\end{vmatrix}}\)
Który wynosi \(\displaystyle{ (1-\lambda)^2(2-\lambda)}\) (ponieważ macierz jest trójkątna, więc wyznacznik jest iloczynem wartości na przekątnej głównej)
Przyrównując do zera masz dwie wartości własne \(\displaystyle{ \lambda_1=1}\), o krotności \(\displaystyle{ k_1=2}\) oraz \(\displaystyle{ \lambda_2=2}\), o krotności \(\displaystyle{ k_2=1}\)
Następnie dla poszczególnych wartości własnych liczysz:
Dla \(\displaystyle{ \lambda_1=1}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&0&0\\1&0&0\\2&0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\0\\0\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1=0\\2x_1+x_3=0\end{cases}}\)
Z tego masz:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1=0\\x_2=\alpha\\x_3=0\end{cases}}\)
Można zapisać że \(\displaystyle{ V_1 = \{(0,\alpha,0):\alpha \in R\}=Lin\{(0,1,0)\}}\)
Gdzie oczywiście \(\displaystyle{ (0,1,0)}\) jest szukanym wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda_1=1}\)
I analogicznie dla \(\displaystyle{ \lambda_2=2}\)
\(\displaystyle{ \Delta (\lambda) = \begin{vmatrix} 1-\lambda&0&0\\1&1-\lambda&0\\2&0&2-\lambda\end{vmatrix}}\)
Który wynosi \(\displaystyle{ (1-\lambda)^2(2-\lambda)}\) (ponieważ macierz jest trójkątna, więc wyznacznik jest iloczynem wartości na przekątnej głównej)
Przyrównując do zera masz dwie wartości własne \(\displaystyle{ \lambda_1=1}\), o krotności \(\displaystyle{ k_1=2}\) oraz \(\displaystyle{ \lambda_2=2}\), o krotności \(\displaystyle{ k_2=1}\)
Następnie dla poszczególnych wartości własnych liczysz:
Dla \(\displaystyle{ \lambda_1=1}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&0&0\\1&0&0\\2&0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\0\\0\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1=0\\2x_1+x_3=0\end{cases}}\)
Z tego masz:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1=0\\x_2=\alpha\\x_3=0\end{cases}}\)
Można zapisać że \(\displaystyle{ V_1 = \{(0,\alpha,0):\alpha \in R\}=Lin\{(0,1,0)\}}\)
Gdzie oczywiście \(\displaystyle{ (0,1,0)}\) jest szukanym wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda_1=1}\)
I analogicznie dla \(\displaystyle{ \lambda_2=2}\)