Jak wykazac że wektory tworzą bazę

[przemo53]

Cześć mam takie zadanie i nie wiem jak je rozwiązać:
Dane są wektory \(\displaystyle{ x_{1}=(1,2,3), x_{2}=(1,-1,2), x_{3}=(-2,2,-2)}\)
a) wykazać że wektory te tworzą bazę w przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\).
b) znaleźć współrzędne wektora \(\displaystyle{ x=(3,-3,0)}\) w tej bazie.
Proszę o pełne rozwiązanie gdyż nie jestem w dobry jeśli chodzi o zadania z wektorami.
Dzięki

[Szemek]

Proszę o pełne rozwiązanie gdyż nie jestem w dobry jeśli chodzi o zadania z wektorami.

Może za mało zadań jeszcze zrobiłeś

a)

Kod: Zaznacz cały

http://wms.mat.agh.edu.pl/~msekowsk/przestrzen_wektorowa.pdf

b) rozwiąż układ 3 równań z 3 niewiadomymi: \(\displaystyle{ x=ax_1+bx_2+cx_3}\)

[przemo53]

Proszę o pełne rozwiązanie gdyż nie jestem w dobry jeśli chodzi o zadania z wektorami.

Może za mało zadań jeszcze zrobiłeś

a)

Kod: Zaznacz cały

http://wms.mat.agh.edu.pl/~msekowsk/przestrzen_wektorowa.pdf

b) rozwiąż układ 3 równań z 3 niewiadomymi: \(\displaystyle{ x=ax_1+bx_2+cx_3}\)

niestety tak , teraz próbuje nadrobić zaległości

dobrze, obliczyłem według przykładu podanego powyżej, tak wiec:
\(\displaystyle{ (x,y,z)=(- \frac{1}{3} y+ \frac{1}{3} z)(1,2,5)+(-2 \frac{2}{3} y+2 \frac{2}{3} z)(1,-1,2)+(-3y+3z-x)(-2,2,-2)}\)
i co z tym dalej zrobić nie wiem czy dokończyć te wyliczenia i jak rozpoznać jak te wektory tworzą bazę w \(\displaystyle{ R^3}\)
Szemek mógłbyś napisać wyjściowy układ równań, nie mogę dojść z czego go stworzyć?

[Szemek]

dobrze, obliczyłem według przykładu podanego powyżej, tak wiec:
\(\displaystyle{ (x,y,z)=(- \frac{1}{3} y+ \frac{1}{3} z)(1,2,5)+(-2 \frac{2}{3} y+2 \frac{2}{3} z)(1,-1,2)+(-3y+3z-x)(-2,2,-2)}\)
i co z tym dalej zrobić nie wiem czy dokończyć te wyliczenia i jak rozpoznać jak te wektory tworzą bazę w \(\displaystyle{ R^3}\)

Pomijam poprawność obliczeń.
Zauważ, że każdy wektor \(\displaystyle{ (x,y,z)}\) da się przedstawić za pomocą kombinacji liniowej podanych wektorów - dobierając odpowiednio współczynniki. W PDF-ie pojawia się we wniosku, że powłoka liniowa jest równa \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\)

Do głowy przychodzi mi jeszcze drugi sposób na to zadanie. Wymiar przestrzeni jest równy 3. W bazie są trzy wektory. I jedyne co wystarczy wykazać, to że te wektory są liniowo niezależne.

b)
\(\displaystyle{ x=ax_1+bx_2+cx_3 \\
(3,-3,0)=a(1,2,3)+b(1,-1,2)+c(-2,2,-2) \\
\begin{cases} 3 = a \cdot 1 + b \cdot 1 + c \cdot (-2) \\
-3 = a \cdot 2 + b \cdot (-1) + c \cdot 2 \\
0 = a \cdot 3 + b \cdot 2 + c \cdot (-2)\end{cases}}\)
Po trywialnych (jak zwykła mawiać moja wykładowczyni algebry) obliczeniach coś Ci tam wyjdzie To będą współrzędne wektora w podanej bazie.