jądro odwzorowania liniowego

[Rafix_]

Niech \(\displaystyle{ T: \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^3}\) będzie odwzorowanie liniowym, które w standardowych bazach ma macierz:

\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 6&-1&1&-2 \\-1&0&-1&3 \\ 3&-1&-2&7\end{bmatrix}}\)


kombinuje w ten sposób:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 6&-1&1&-2 \\-1&0&-1&3 \\ 3&-1&-2&7\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}}\)

i teraz obliczyć x1..x4 tylko nie wiem jak to zrobić. Czy to dobry sposób?

pozdrawiam

[BettyBoo]

Dobry. Po prostu rozwiąż ten układ równań (znasz eliminację (proces) Gaussa? czy coś tam? możesz sobie ewentualnie dla wygody zapisać taką macierz tego układu, w której kolumna odpowiadająca za współrzędne przy \(\displaystyle{ x_2}\) stoi jako pierwsza (będzie mniej liczenia))

Pozdrawiam.

[Rafix_]

przemnożyłem dwie macierze, wyszło, że x1=x2=x3=x4==0
Czy jądro odwzorowania liniowego zawsze składa się z samych zer?

Z kolei męcząc Gaussa:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 6&-1&1&-2 \\-1&0&-1&3 \\ 3&-1&-2&7\end{bmatrix} \sim w_2*3 \ , \ w_3*(-1) \sim
\begin{bmatrix} 6&-1&1&-2 \\-3&0&-3&9 \\ -3&1&2&-7\end{bmatrix} \sim \\
\sim w_1 + (w_2 + w_3) \sim \begin{bmatrix} 0&0&0&0 \\-3&0&-3&9 \\ -3&1&2&-7\end{bmatrix}}\)


Czy możemy zatem wyciągnąć wniosek, że nasze odwzorowanie liniowe działa w sposób: \(\displaystyle{ T: \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^2}\) ? A równanie pierwsze jest zależne liniowo od pozostałych?

[BettyBoo]

przemnożyłem dwie macierze, wyszło, że x1=x2=x3=x4==0

Nic się przez nic nie mnoży. I źle Ci wyszło.

Czy jądro odwzorowania liniowego zawsze składa się z samych zer?

Nie.

Czy możemy zatem wyciągnąć wniosek, że nasze odwzorowanie liniowe działa w sposób: \(\displaystyle{ T: \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^2}\)

Nie.


Może byś tak rozwiązał ten układ równań, a nie zgadywał? Skoro Ci zostały 2 niezerowe wiersze (czyli 2 równania), a masz 4 niewiadome, to jakim cudem dostałeś tylko rozwiązanie zerowe?

Pozdrawiam.