przejście z bazy do bazy

[Rafix_]

baza stara: \(\displaystyle{ e1=(5,2), e2=(-2,-1)}\)
baza nowa: \(\displaystyle{ e1'=(1,2), e2'=(3,1)}\)
obydwie w przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\)
Należy wyznaczyć macierz przejścia od bazy starej do nowej.
Wiem, że zadanie jest proste, ale proszę o pomoc

[BettyBoo]

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc|cc} 5&-2&1&3\\ 2&-1&2&1\end{array}\right]\xrightarrow{proces\ Gaussa-Jordana} [I|P]}\)

gdzie \(\displaystyle{ I}\) jest macierzą jednostkową, a \(\displaystyle{ P}\) jest szukaną macierzą.

Alternatywne rozwiązanie - wykorzystać bazę kanoniczną jako pośrednią bazę.

Pozdrawiam.

[Rafix_]

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc|cc} 5&-2&1&3\\ 2&-1&2&1\end{array}\right] \sim_{w_1-2w_2}\sim \left[\begin{array}{cc|cc} 1&0&-3&1\\ 2&-1&2&1\end{array}\right]
\sim_{w_2*(-1)}\sim \left[\begin{array}{cc|cc} 1&0&-3&1\\ -2&1&-2&-1\end{array}\right] \sim_{w_2+2w_1}\sim \left[\begin{array}{cc|cc} 1&0&-3&1\\ 0&1&-8&1\end{array}\right]}\)
zatem szukaną macierzą przejścia jest:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc} -3&1\\-8&1 \end{array}\right]}\)

tak?

[BettyBoo]

Tak.

Pozdrawiam.

[Rafix_]

uff to dobrze
mogła byś jeszcze wytłumaczyć jak dojść do tego wyniku alternatywnie, tzn korzystając z bazy kanonicznej? Domyślam się że chodzi kolejno o przejścia
baza stara -> kanoniczna -> baza nowa
nie wiem jednak jak to zapisać

pozdrawiam

[BettyBoo]

Macierz przejścia z bazy kanonicznej do dowolnej innej łatwo zapisać - jej kolumnami są wektory tej innej bazy. Macierz przejścia w drugą stronę to macierz do niej odwrotna. Jeśli przechodzisz z bazy 1 do bazy 2, a potem z bazy 2 do bazy 3, to macierze zmiany bazy się mnoży (bo to są de facto macierze przekształceń).

Pozdrawiam.

[Rafix_]

faktycznie wychodzi to samo

cz.2 zadania jest następująca:
odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2}\) dane jest poprzez macierz A w starej bazie ( A jest kwadratowa 2x2, nie będe jej już przepisywał..). Znajdź jej macierz w nowej bazie.
Czy wystarczy tylko przemnożyć A przez macierz przejścia - wyliczaną powyżej?

[BettyBoo]

Takie sformułowanie zadania sugeruje, że zarówno w dziedzinie jak i przeciwdziedzinie jest ta sama baza - a więc trzeba to przemnożyć z obu stron przez macierze przejścia - raz przez \(\displaystyle{ P}\), a raz przez \(\displaystyle{ P^{-1}}\) (zajrzyj do wzoru na zmianę macierzy przekształcenia przy zmianie bazy).

Pozdrawiam.