Oblicz wyznacznik macierzy?

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
mariusz689
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 249
Rejestracja: 15 lut 2008, o 22:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: LBN
Podziękował: 48 razy

Oblicz wyznacznik macierzy?

Post autor: mariusz689 »

Oblicz wyznacznik macierzy:

\(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} 1&0&0&0&1\\0&0&0&1&0\\0&0&1&0&0\\0&1&0&0&0\\1&0&0&0&2\end{bmatrix}}\)

Liczę to na kilka sposobów:

1. Widać po przekątnej same jedynki, więc wyznacznik wychodzi nam -1
2. Zamieniamy kolumną 2 z 4
i mamy macierz:

\(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} 1&0&0&0&1\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\1&0&0&0&2\end{bmatrix}}\)

Po przekątnej widać że wyznacznik wynosi 2.

3. Od W5-W1 i później od w1-w5 mamy:

\(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} 1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}}\)

Więc wyznacznik wynosi 1.

Która z tych odpowiedzi jest właściwa i dlaczego ?-- 31 stycznia 2010, 19:36 --W definicjach jest napisane że można zamieniać wiersze kolumny mnożyć przez stalą dodawać wiersze. To dlaczego po takich zabiegach wyznacznik się zmienia?
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Oblicz wyznacznik macierzy?

Post autor: BettyBoo »

Żadna z tych metod nie jest poprawna, chociaż przypadkiem uzyskałeś poprawną odpowiedź

1 i 2 są całkiem źle - przecież podana macierz nie jest ani górno-trójkątna ani dolno-trójkątna (ani trójkątna wzdłuż drugiej przekątnej) - więc nie możesz NIC wnioskować z tego, co stoi na przekątnej.

3, jak rozumiem, zaczyna się od zamiany kolumn? Ta operacja jest oczywiście dozwolona, ale zmienia znak wyznacznika na przeciwny. Wystarczy zrobić tylko \(\displaystyle{ w5-w1}\) (ta operacja nie zmienia wyznacznika) i otrzymujesz macierz górno-trójkątną więc ostatecznie wyznacznik jest równy -1.

Pozdrawiam.
mariusz689
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 249
Rejestracja: 15 lut 2008, o 22:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: LBN
Podziękował: 48 razy

Oblicz wyznacznik macierzy?

Post autor: mariusz689 »

jak wykonamy operację w5-w1 to w miejscu a55=1 więc nadal to nie będzie macierz górnotrójkątna i nie będziemy mieli przekątnej bo w a51 znikanie nam 1 . Mogłabyś mi to jaśniej wytłumaczyć na tym przykładzie. ?-- 31 stycznia 2010, 23:44 --no ale z definicji mnoży się po przekątnej w jedną stronę a potem w drugą ze znakiem przeciwnym i to się do siebie dodaje i wychodzi nam wyznacznik macierzy? Więc jak nawet na piechotę wykonamy obliczenia bo tak szybciej to niemożemy uzasadnić odpowiedzi w taki sposób ?
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Oblicz wyznacznik macierzy?

Post autor: BettyBoo »

Chyba trochę nie rozumiem, co co chodzi...

Robimy na macierzy A najpierw zamianę kolumn 2 i 4, a potem operację na wierszach \(\displaystyle{ w_5-w_1}\). Otrzymujemy

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&0&0&1\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}}\)

Ta macierz jest górno-trójkątna, więc jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów na przekątnej, czyli 1, zatem wyznacznik wyjściowej macierzy jest -1 (bo zamienialiśmy raz kolumny).
no ale z definicji mnoży się po przekątnej w jedną stronę a potem w drugą ze znakiem przeciwnym i to się do siebie dodaje i wychodzi nam wyznacznik macierzy?
Skądże!!! To jest definicja tylko dla macierzy 2x2...

Pozdrawiam.
mariusz689
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 249
Rejestracja: 15 lut 2008, o 22:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: LBN
Podziękował: 48 razy

Oblicz wyznacznik macierzy?

Post autor: mariusz689 »

aha, a jeśli na miejscu \(\displaystyle{ a _{55}}\) zamiast 1 byśmy dali 3 to wyznacznik tej macierzy równa się -3 ? I za każdym razem gdy zamieniamy kolumny wyznacznik zmienia się na przeciwny znak?
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Oblicz wyznacznik macierzy?

Post autor: BettyBoo »

mariusz689 pisze:aha, a jeśli na miejscu \(\displaystyle{ a _{55}}\) zamiast 1 byśmy dali 3 to wyznacznik tej macierzy równa się -3 ?
Tak, o ile macierz jest ciągle górno- trójkątna i mówimy o wyznaczniku macierzy z zadania, a nie tej macierzy, którą się otrzymuje po przekształceniach (bo jej wyznacznik byłby wówczas równy 3).
mariusz689 pisze: I za każdym razem gdy zamieniamy kolumny wyznacznik zmienia się na przeciwny znak?
Tak. Dotyczy to również zamiany wierszy.

Pozdrawiam.
mariusz689
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 249
Rejestracja: 15 lut 2008, o 22:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: LBN
Podziękował: 48 razy

Oblicz wyznacznik macierzy?

Post autor: mariusz689 »

Dziękuje ślicznie
ODPOWIEDZ