Oblicz wyznacznik macierzy:
\(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} 1&0&0&0&1\\0&0&0&1&0\\0&0&1&0&0\\0&1&0&0&0\\1&0&0&0&2\end{bmatrix}}\)
Liczę to na kilka sposobów:
1. Widać po przekątnej same jedynki, więc wyznacznik wychodzi nam -1
2. Zamieniamy kolumną 2 z 4
i mamy macierz:
\(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} 1&0&0&0&1\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\1&0&0&0&2\end{bmatrix}}\)
Po przekątnej widać że wyznacznik wynosi 2.
3. Od W5-W1 i później od w1-w5 mamy:
\(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} 1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}}\)
Więc wyznacznik wynosi 1.
Która z tych odpowiedzi jest właściwa i dlaczego ?-- 31 stycznia 2010, 19:36 --W definicjach jest napisane że można zamieniać wiersze kolumny mnożyć przez stalą dodawać wiersze. To dlaczego po takich zabiegach wyznacznik się zmienia?
Oblicz wyznacznik macierzy?
-
- Użytkownik
- Posty: 249
- Rejestracja: 15 lut 2008, o 22:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: LBN
- Podziękował: 48 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Oblicz wyznacznik macierzy?
Żadna z tych metod nie jest poprawna, chociaż przypadkiem uzyskałeś poprawną odpowiedź
1 i 2 są całkiem źle - przecież podana macierz nie jest ani górno-trójkątna ani dolno-trójkątna (ani trójkątna wzdłuż drugiej przekątnej) - więc nie możesz NIC wnioskować z tego, co stoi na przekątnej.
3, jak rozumiem, zaczyna się od zamiany kolumn? Ta operacja jest oczywiście dozwolona, ale zmienia znak wyznacznika na przeciwny. Wystarczy zrobić tylko \(\displaystyle{ w5-w1}\) (ta operacja nie zmienia wyznacznika) i otrzymujesz macierz górno-trójkątną więc ostatecznie wyznacznik jest równy -1.
Pozdrawiam.
1 i 2 są całkiem źle - przecież podana macierz nie jest ani górno-trójkątna ani dolno-trójkątna (ani trójkątna wzdłuż drugiej przekątnej) - więc nie możesz NIC wnioskować z tego, co stoi na przekątnej.
3, jak rozumiem, zaczyna się od zamiany kolumn? Ta operacja jest oczywiście dozwolona, ale zmienia znak wyznacznika na przeciwny. Wystarczy zrobić tylko \(\displaystyle{ w5-w1}\) (ta operacja nie zmienia wyznacznika) i otrzymujesz macierz górno-trójkątną więc ostatecznie wyznacznik jest równy -1.
Pozdrawiam.
-
- Użytkownik
- Posty: 249
- Rejestracja: 15 lut 2008, o 22:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: LBN
- Podziękował: 48 razy
Oblicz wyznacznik macierzy?
jak wykonamy operację w5-w1 to w miejscu a55=1 więc nadal to nie będzie macierz górnotrójkątna i nie będziemy mieli przekątnej bo w a51 znikanie nam 1 . Mogłabyś mi to jaśniej wytłumaczyć na tym przykładzie. ?-- 31 stycznia 2010, 23:44 --no ale z definicji mnoży się po przekątnej w jedną stronę a potem w drugą ze znakiem przeciwnym i to się do siebie dodaje i wychodzi nam wyznacznik macierzy? Więc jak nawet na piechotę wykonamy obliczenia bo tak szybciej to niemożemy uzasadnić odpowiedzi w taki sposób ?
-
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Oblicz wyznacznik macierzy?
Chyba trochę nie rozumiem, co co chodzi...
Robimy na macierzy A najpierw zamianę kolumn 2 i 4, a potem operację na wierszach \(\displaystyle{ w_5-w_1}\). Otrzymujemy
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&0&0&1\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}}\)
Ta macierz jest górno-trójkątna, więc jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów na przekątnej, czyli 1, zatem wyznacznik wyjściowej macierzy jest -1 (bo zamienialiśmy raz kolumny).
Pozdrawiam.
Robimy na macierzy A najpierw zamianę kolumn 2 i 4, a potem operację na wierszach \(\displaystyle{ w_5-w_1}\). Otrzymujemy
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&0&0&1\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}}\)
Ta macierz jest górno-trójkątna, więc jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów na przekątnej, czyli 1, zatem wyznacznik wyjściowej macierzy jest -1 (bo zamienialiśmy raz kolumny).
Skądże!!! To jest definicja tylko dla macierzy 2x2...no ale z definicji mnoży się po przekątnej w jedną stronę a potem w drugą ze znakiem przeciwnym i to się do siebie dodaje i wychodzi nam wyznacznik macierzy?
Pozdrawiam.
-
- Użytkownik
- Posty: 249
- Rejestracja: 15 lut 2008, o 22:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: LBN
- Podziękował: 48 razy
Oblicz wyznacznik macierzy?
aha, a jeśli na miejscu \(\displaystyle{ a _{55}}\) zamiast 1 byśmy dali 3 to wyznacznik tej macierzy równa się -3 ? I za każdym razem gdy zamieniamy kolumny wyznacznik zmienia się na przeciwny znak?
-
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Oblicz wyznacznik macierzy?
Tak, o ile macierz jest ciągle górno- trójkątna i mówimy o wyznaczniku macierzy z zadania, a nie tej macierzy, którą się otrzymuje po przekształceniach (bo jej wyznacznik byłby wówczas równy 3).mariusz689 pisze:aha, a jeśli na miejscu \(\displaystyle{ a _{55}}\) zamiast 1 byśmy dali 3 to wyznacznik tej macierzy równa się -3 ?
Tak. Dotyczy to również zamiany wierszy.mariusz689 pisze: I za każdym razem gdy zamieniamy kolumny wyznacznik zmienia się na przeciwny znak?
Pozdrawiam.
-
- Użytkownik
- Posty: 249
- Rejestracja: 15 lut 2008, o 22:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: LBN
- Podziękował: 48 razy