Macierz, ilość rozwiązań, rozwiązania niezerowe, dowody

[Fred1990]

Witam, mam parę pytań odnośnie macierzy, prosiłbym o pomoc:
1) \(\displaystyle{ G={A \in M _{33} : det A \neq 0 }}\)
- Czy prawdą jest, że jednorodny układ równań \(\displaystyle{ AX=\theta_3_x_1}\), gdzie \(\displaystyle{ A \in G}\) ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Jest jakiś sposób wyznaczenia rozwiązań i stwierdzenia bez liczenia macierzy? Czy jest on zalezny od wyznacznika? Spotkałem się z różnymi wersjami i już sam nie wiem. Czy dla det=0 będzie jedno rozwiązanie, a dla \(\displaystyle{ det \neq 0}\) nieskończona ilość, lub nie będzie ich wcale?
- Czy można stwierdzić kiedy układ ma rozwiązania niezerowe?
2) Wiem na czym polega metoda Sarrusa, wiem jak się nią posługiwać, ale czy można ją jakoś udowodnić?
3) Czy można udowodnić twierdzenie Cramera?
Pozdrawiam

[BettyBoo]

1)
a) Twierdzenie Kroneckera-Capellego
b) jeśli układ jest jednorodny, tzn postaci \(\displaystyle{ AX=0}\), to albo ma on dokładnie jedno rozwiązanie (wtedy jest to rozwiązanie zerowe oczywiście) albo ma tych rozwiązań nieskończenie wiele (a więc ma również niezerowe); sprzeczny być nie może; w tym przypadku rozstrzyganie o który przypadek chodzi (czyli korzystanie z tw K-C) sprowadza się do obliczenia wyznacznika macierzy układu. Jeśli jest on niezerowy, to układ ma 1 rozwiązanie, jeśli równy 0 - nieskończenie wiele rozwiązań.

2) to jest definicja wyznacznika; metoda polega wyłącznie na tym, żeby dało się ją łatwo zapamiętać

3) można

Pozdrawiam.

[Fred1990]

Dziękuję za pomoc