zbadac polozenie prostych

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Maniek1404
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 3 paź 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: niemcy

zbadac polozenie prostych

Post autor: Maniek1404 »

Witam.
musze okreslic polozenie prostych wobec siebie i podac, punkt przeciecia lut odleglosc miedzy nimi
A)
g1: \(\displaystyle{ \vec{r}}\)(t)= (2,8,0) +t(0,-2,5)
g2: \(\displaystyle{ \vec{r}}\)(s)= (1,4,0) +s(0,0.4,-1)

wiem ze te proste sa do siebie RR poniewaz wartosci przy parametrrach sa swoimi wielokrotnosciami (-5)
ale jak obliczyc odstep miedzy nimi??

B)
g1: \(\displaystyle{ \vec{r}}\)(t)= (1,2,1) +t(3,2,-2)
g2: \(\displaystyle{ \vec{r}}\)(s)= (4,3,3) +s(0,-2,1)
wiem ze nie sa one RR
tb1-sb2=a2-a1 i kozystajac z tego wzoru nie moglem wyznaczyc parametrow s oraz t wiec tez nie przecinaja sie. jak one leza wobec siebie?? i jak odbliczyc odstep miedzy nimi??
Crizz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

zbadac polozenie prostych

Post autor: Crizz »

B: jeśli się nie przecinają i nie są równoległe, to zapewne są zwichrowane. Znaleźć odległosć miedzy nimi to chyba grubsza sprawa: znajdujesz płaszczyznę, do której obie są równoległe, potem ich rzuty na tę płaszczyznę i punkt przecięcia tych rzutów; odległość między tymi prostymi to odległość punktów, których obrazami jest właśnie ten punkt przecięcia (to przynajmniej mój jedyny pomysł, może można to zrobić prościej).

Wyglądałoby to tak:

Znajdujesz wektor prostopadły do obu tych prostych, jako iloczyn wektorowy ich wektorów kierunkowych:
\(\displaystyle{ [3,2,-2] \times [0,-2,1] =[-2,-3,-6]}\)
\(\displaystyle{ \vec{u}=[-2,-3,-6]}\)

Szukasz teraz wektora, który:
-jest równoległy do \(\displaystyle{ \vec{u}}\)
-zaczyna się w pewnym punkcie prostej g2 i kończy w pewnym punkcie prostej g1

Dowolny punkt prostej g1 ma wspołrzędne \(\displaystyle{ (3t+1,2t+2,-2t+1)}\)
Dowolny punkt prostej g2 ma wspołrzędne \(\displaystyle{ (4,-2s+3,s+3)}\)
Szukany wektor ma zatem współrzędne postaci \(\displaystyle{ [3t-3,2t+2s-1,-2t-s-2]}\)
Z zalezności \(\displaystyle{ [3t-3,2t+2s-1,-2t-s-2]=k[-2,-3,-6]}\)
wynika układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3t-3=-2k \\ 2t+2s-1=-3k \\ -2t-s-2=-6k \end{cases}}\)
Rozwiązujesz go i otrzymujesz \(\displaystyle{ k=\frac{3}{7}}\), zatem szukany wektor to \(\displaystyle{ \left[-\frac{6}{7},-\frac{9}{7}-\frac{18}{7}\right]}\)
Odległość rozważanych prostych to właśnie długość tego wektora, czyli odpowiedź na Twoje pytanie to 3.

A: Szukasz punktu wyznaczonego przez koniec wektora, który:
-zaczyna się w punkcie \(\displaystyle{ (1,4,0)}\) (tzn. pewnym punkcie prostej g2, ja wybrałem akurat ten)
-kończy się na jakimś punkcie prostej g1
-jest prostopadły do prostej g1

Dowolny punkt prostej g1 ma współrzędne \(\displaystyle{ (2,-2t+8,5t)}\).
W takim razie szukany wektor ma współrzędne postaci \(\displaystyle{ [1,-2t+4,5t]}\)
Ponadto ten wektor ma być prostopadły do g2, zatem iloczyn skalarny tego wektora i wektora kierunkowego prostej g1 jest równy zeru:
\(\displaystyle{ [0,-2,5] \circ [2,-2t+8,5t]=0}\)
\(\displaystyle{ 29t-16=0}\)
\(\displaystyle{ t=\frac{16}{29}}\)
Szukanym wektorem jest zatem \(\displaystyle{ \left[1,\frac{84}{29},\frac{80}{29}\right]}\)
Odległość rozważanych prostych to właśnie długość tego wektora, czyli \(\displaystyle{ \sqrt{17}}\).
ODPOWIEDZ