Liczenie e_do_At

[kafar_dg]

\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}-2&1\\-2&0\end{array}\right]}\)
Należy policzyć \(\displaystyle{ e^{At}}\)
Może ktoś pomóc? Mam to rozkminić na poniedziałek na egzamin.

[BettyBoo]

Oblicz wartości własne i wektory własne i wstaw do wzoru.

Pozdrawiam.

[Rogal]

Korzystasz z definicji funkcji e do potęgi macierz jako szeregu potęgowego. A żeby dobrze potęgować macierz, to trzeba ją sobie sprowadzić do postaci Jordana. Dalej idzie.

[kafar_dg]

No wlasnie w tym problem ze wychodza mi zespolone wartosci wlasne:(

[BettyBoo]

I dobrze, bo takie mają wyjść - a co to za problem?

Pozdrawiam.

[Rogal]

No i co z tego? Nie umiesz potęgować liczb zespolonych? Jak Ci takie ładne jeszcze wyszły : )

[BettyBoo]

Rogal, przecież są gotowe wzory, nic nie trzeba samemu potęgować, trzeba podstawić do wzorów i wymnożyć kilka macierzy

Pozdrawiam.

[Rogal]

Hmmm, to chyba nie bardzo wiem, o czym piszesz. Znaczy, nie kojarzę takowych wzorów. Wiem, że trzeba sobie to zmienić w postać Jordana, znaleźć macierze przejścia, spotęgować i wymnożyć z powrotem.
Swoją drogą niezłe mamy zgranie : P

[BettyBoo]

No o tym właśnie piszę. Tutaj wartości własne są różne więc de facto postać Jordana będzie diagonalna - no to w eksponencie nie ma co liczyć (pomijając już taki drobiazg, że jest gotowy wzór na eksponentę dowolnej postaci Jordana, więc i tak nie ma co liczyć ) - a baza Jordana będzie się składała z wektorów własnych, więc też nie bardzo jest co liczyć..odwrócenie macierzy 2x2 to też gotowy wzór, potem tylko trzeba wymnożyć i gotowe.

Pozdrawiam.

[Rogal]

Czyli zapewne mówimy o tym samym, tylko inaczej o tym myślimy.

[kafar_dg]

Moje wypociny do tej pory:

wyszły mi \(\displaystyle{ \lambda_1=-1+i}\) oraz \(\displaystyle{ \lambda_2=-1-i}\)
czyli \(\displaystyle{ J=\left[\begin{array}{ccc}-1&1\\-1&-1\end{array}\right]}\) bo \(\displaystyle{ J=\left[\begin{array}{ccc}\alpha&\omega\\-\omega&\alpha\end{array}\right]}\)

zatem ze wzoru:
\(\displaystyle{ e^{Jt}=e^{\alpha t}\left[\begin{array}{ccc}cos\omega t&sin\omega t\\-sin\omega t&cos\omega t\end{array}\right]}\)
Dostaję:
\(\displaystyle{ e^{Jt}=e^{-t}\left[\begin{array}{ccc}cos t&sin t\\-sin t&cos t\end{array}\right]}\)

Jeśli źle to powiedzcie. Tylko nie wiem jak wyliczyć wektory własne.

[BettyBoo]

Takich wzorów to ja nie znam Wg tego, co ja wiem o postaci Jordana, to postać Jordana tej macierzy jest diagonalna - masz dwie wartości własne jednokrotne, które stoją na przekątnej - więc eksponenta też jest diagonalna.

Wektory własne się łatwo liczy. Np dla \(\displaystyle{ \lambda=-1-i}\) masz do rozwiązania układ

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-1+i&1\\-2&1+i\end{array}\right]}\)

Wiersze z założenia są proporcjonalne, więc wektory własne wiązane z tą wartością własną są np postaci \(\displaystyle{ (t,(1-i)t)^T,\ t\in\mathbb{C}}\). Dla drugiej wartości własnej masz podobnie. Wektory własne są wektorami bazowymi w bazie Jordana.

Pozdrawiam.

[kafar_dg]

W końcu udało mi się to rozwiązać. Poniżej prezentuje mój tok rozumowania:

\(\displaystyle{ \lambda_1=-1+i}\) oraz \(\displaystyle{ \lambda_2=-1-i}\)

czyli \(\displaystyle{ J=\left[\begin{array}{ccc}-1&1\\-1&-1\end{array}\right]}\) bo \(\displaystyle{ J=\left[\begin{array}{ccc}\alpha&\omega\\-\omega&\alpha\end{array}\right]}\)

zatem ze wzoru:

\(\displaystyle{ e^{Jt}=e^{\alpha t}\left[\begin{array}{ccc}cos\omega t&sin\omega t\\-sin\omega t&cos\omega t\end{array}\right]}\)

Dostaję:

\(\displaystyle{ e^{Jt}=e^{-t}\left[\begin{array}{ccc}cos t&sin t\\-sin t&cos t\end{array}\right]}\)

Macierz P:

Liczymy dla \(\displaystyle{ \lambda_1}\):

\(\displaystyle{ [A-\lambda_1 I]=\left[\begin{array}{ccc}-1-i&1\\-2&1-i\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-1-i&1\\-2&1-i\end{array}\right]*\left[\begin{array}{ccc}w_{11}\\w_{12}\end{array}\right]=0}\)

\(\displaystyle{ (-1-i)w_{11}+w_{12}=0}\) // Przenosimy i mnożymy przez (-1+i)

\(\displaystyle{ (1-i^2)w_{11}=-(-1+i)w_{12}}\)

\(\displaystyle{ 2w_{11}=(1-i)w_{12}}\)

\(\displaystyle{ w_{11}=(\frac{1}{2}-\frac{i}{2})w_{12}}\)

Dostajemy więc wektor:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}-\frac{i}{2}\\1\end{array}\right]w_{12}}\)

i rozbijamy go na dwa:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}\\1\end{array}\right]w_{12}+i\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2}\\0\end{array}\right]w_{12}}\)

Zatem macierz \(\displaystyle{ P=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\1&0\end{array}\right]}\)

Pozostaje policzyc \(\displaystyle{ P^{-1}}\)

Liczę, że każdy pamięta jak policzyć macierz odwrotną dlatego daruje sobie obliczenia

\(\displaystyle{ P^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}0&1\\-2&1\end{array}\right]}\)

No i jesteśmy w domu. Teraz wszystko podstawiamy do wzoru \(\displaystyle{ e^{At}=Pe^{Jt}P^{-1}}\)

Po wymnożeniu otrzymujemy

\(\displaystyle{ e^{At}=e^{-t}\left[\begin{array}{ccc}-sint+cost&sint\\-2sint&cost+sint\end{array}\right]}\)