Rozwiąże mi ktoś poniższe równanie i wytłumaczy w prostych krokach?
x + py +2z =4
2x + 2y + 4z = 8
3x + y + pz = 5
Proszę tłumaczyć jak dziecku.
Z góry dziękuję.
Układ równań - metoda Cramera
-
jareczek88
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 30 sty 2010, o 15:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Głogów
- Podziękował: 2 razy
-
tometomek91
- Użytkownik
- Posty: 2959
- Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 281 razy
- Pomógł: 498 razy
Układ równań - metoda Cramera
\(\displaystyle{ \begin{cases} x + py +2z =4 \\ 2x + 2y + 4z = 8 \\ 3x + y + pz = 5\end{cases}}\)
Liczymy wyznacznik główny:
\(\displaystyle{ W= \left[\begin{array}{ccc}1&p&2\\3&2&4\\3&1&p\end{array}\right]}\) (współczynniki przy x, y, z)
Odpowiednio wydłużamy:
\(\displaystyle{ W= \left[\begin{array}{ccc}1&p&2\\3&2&4\\3&1&p\\1&p&2\\3&2&4\end{array}\right]}\)
Mnożymy:
\(\displaystyle{ W=2p+6+12p-12-4-3p^{2}=3p^{2}+14p-10}\)
Teraz x-owy:
\(\displaystyle{ W_{x}=\left[\begin{array}{ccc}4&8&5\\3&2&4\\3&1&p\end{array}\right]}\)
I y-kowy:
\(\displaystyle{ W_{y}=\left[\begin{array}{ccc}1&p&2\\4&8&5\\3&1&p\end{array}\right]}\)
i z-owy:
\(\displaystyle{ W_{z}=\left[\begin{array}{ccc}1&p&2\\3&2&4\\4&8&5\end{array}\right]}\)
X, y, z wyliczamy z:
\(\displaystyle{ x=\frac{W_{x}}{W}, y=\frac{W_{y}}{W}, z=\frac{W_{z}}{W}}\)
Wyznaczniki liczyliśmy w nastepujący sposób:
\(\displaystyle{ W=\left[\begin{array}{ccc}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{array}\right]=a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}}\)
Liczymy wyznacznik główny:
\(\displaystyle{ W= \left[\begin{array}{ccc}1&p&2\\3&2&4\\3&1&p\end{array}\right]}\) (współczynniki przy x, y, z)
Odpowiednio wydłużamy:
\(\displaystyle{ W= \left[\begin{array}{ccc}1&p&2\\3&2&4\\3&1&p\\1&p&2\\3&2&4\end{array}\right]}\)
Mnożymy:
\(\displaystyle{ W=2p+6+12p-12-4-3p^{2}=3p^{2}+14p-10}\)
Teraz x-owy:
\(\displaystyle{ W_{x}=\left[\begin{array}{ccc}4&8&5\\3&2&4\\3&1&p\end{array}\right]}\)
I y-kowy:
\(\displaystyle{ W_{y}=\left[\begin{array}{ccc}1&p&2\\4&8&5\\3&1&p\end{array}\right]}\)
i z-owy:
\(\displaystyle{ W_{z}=\left[\begin{array}{ccc}1&p&2\\3&2&4\\4&8&5\end{array}\right]}\)
X, y, z wyliczamy z:
\(\displaystyle{ x=\frac{W_{x}}{W}, y=\frac{W_{y}}{W}, z=\frac{W_{z}}{W}}\)
Wyznaczniki liczyliśmy w nastepujący sposób:
\(\displaystyle{ W=\left[\begin{array}{ccc}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{array}\right]=a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}}\)
Ostatnio zmieniony 30 sty 2010, o 16:59 przez tometomek91, łącznie zmieniany 3 razy.
-
Neltharion
- Użytkownik
- Posty: 27
- Rejestracja: 30 sty 2010, o 14:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: ?????
- Pomógł: 4 razy
Układ równań - metoda Cramera
\(\displaystyle{ \begin{cases} x + py + 2z = 4 \\ 2x + 2y + 4z = 8 \\ 3x + y + pz = 5\end{cases} \\
\begin{cases} a_{1}x + b_{1}y + c_{1}z = d_{1} \\ a_{2}x + b_{2}y + c_{2}z = d_{2} \\ a_{3}x + b_{3}y + c_{3}z = d_{3}\end{cases}
W = \left|\begin{array}{ccc}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{array}\right| = a_{1}b_{2}c_{3} + b_{1}c_{2}a_{3} + c_{1}a_{2}b_{3} - c_{1}b_{2}a_{3} - b_{1}a_{2}c_{3} - a_{1}c_{2}b_{3} \\
W_{x} = \left|\begin{array}{ccc}d_{1}&b_{1}&c_{1}\\d_{2}&b_{2}&c_{2}\\d_{3}&b_{3}&c_{3}\end{array}\right| = d_{1}b_{2}c_{3} + b_{1}c_{2}d_{3} + c_{1}d_{2}b_{3} - c_{1}b_{2}d_{3} - b_{1}d_{2}c_{3} - d_{1}c_{2}b_{3} \\
W_{y} = \left|\begin{array}{ccc}a_{1}&d_{1}&c_{1}\\a_{2}&d_{2}&c_{2}\\a_{3}&d_{3}&c_{3}\end{array}\right| = a_{1}d_{2}c_{3} + d_{1}c_{2}a_{3} + c_{1}a_{2}d_{3} - c_{1}d_{2}a_{3} - d_{1}a_{2}c_{3} - a_{1}c_{2}d_{3} \\
W_{z} = \left|\begin{array}{ddd}a_{1}&b_{1}&d_{1}\\a_{2}&b_{2}&d_{2}\\a_{3}&b_{3}&d_{3}\end{array}\right| = a_{1}b_{2}d_{3} + b_{1}d_{2}a_{3} + d_{1}a_{2}b_{3} - d_{1}b_{2}a_{3} - b_{1}a_{2}d_{3} - a_{1}d_{2}b_{3}}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ W \neq 0}\), to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie oraz:
\(\displaystyle{ x = \frac{W_{x}}{W} \\
y = \frac{W_{y}}{W} \\
z = \frac{W_{z}}{W}}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ W = 0 \wedge (W_{x} = 0 \wedge W_{y} = 0 \wedge W_{z} = 0)}\) to układ jest nieoznaczony.
Jeżeli \(\displaystyle{ W = 0 \wedge (W_{x} \neq 0 \vee W_{y} \neq 0 \vee W_{z} \neq 0)}\) to układ jest sprzeczny.
\begin{cases} a_{1}x + b_{1}y + c_{1}z = d_{1} \\ a_{2}x + b_{2}y + c_{2}z = d_{2} \\ a_{3}x + b_{3}y + c_{3}z = d_{3}\end{cases}
W = \left|\begin{array}{ccc}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{array}\right| = a_{1}b_{2}c_{3} + b_{1}c_{2}a_{3} + c_{1}a_{2}b_{3} - c_{1}b_{2}a_{3} - b_{1}a_{2}c_{3} - a_{1}c_{2}b_{3} \\
W_{x} = \left|\begin{array}{ccc}d_{1}&b_{1}&c_{1}\\d_{2}&b_{2}&c_{2}\\d_{3}&b_{3}&c_{3}\end{array}\right| = d_{1}b_{2}c_{3} + b_{1}c_{2}d_{3} + c_{1}d_{2}b_{3} - c_{1}b_{2}d_{3} - b_{1}d_{2}c_{3} - d_{1}c_{2}b_{3} \\
W_{y} = \left|\begin{array}{ccc}a_{1}&d_{1}&c_{1}\\a_{2}&d_{2}&c_{2}\\a_{3}&d_{3}&c_{3}\end{array}\right| = a_{1}d_{2}c_{3} + d_{1}c_{2}a_{3} + c_{1}a_{2}d_{3} - c_{1}d_{2}a_{3} - d_{1}a_{2}c_{3} - a_{1}c_{2}d_{3} \\
W_{z} = \left|\begin{array}{ddd}a_{1}&b_{1}&d_{1}\\a_{2}&b_{2}&d_{2}\\a_{3}&b_{3}&d_{3}\end{array}\right| = a_{1}b_{2}d_{3} + b_{1}d_{2}a_{3} + d_{1}a_{2}b_{3} - d_{1}b_{2}a_{3} - b_{1}a_{2}d_{3} - a_{1}d_{2}b_{3}}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ W \neq 0}\), to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie oraz:
\(\displaystyle{ x = \frac{W_{x}}{W} \\
y = \frac{W_{y}}{W} \\
z = \frac{W_{z}}{W}}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ W = 0 \wedge (W_{x} = 0 \wedge W_{y} = 0 \wedge W_{z} = 0)}\) to układ jest nieoznaczony.
Jeżeli \(\displaystyle{ W = 0 \wedge (W_{x} \neq 0 \vee W_{y} \neq 0 \vee W_{z} \neq 0)}\) to układ jest sprzeczny.