wartosci wlasne i wektory wlasne

[horrorschau]

Mam problem jeszcze z jednym zadankiem:
Przeksztalcenie f ma wektor wlasny (1, 2) o wartosci wlasnej 1 i wektor
wlasny (2, 3) o wartosci wlasnej 2. Prosze, znalezc wektor f(0, 1).

[BettyBoo]

Nie rozumiem co znaczy

wektor wlasny (1, 2) o wartosci wlasnej 1

Jak sądzę chodzi o wektor własny (1,2) odpowiadający wartości własnej 1?

Przedstaw \(\displaystyle{ (0,1)}\) za pomocą \(\displaystyle{ (1,2)}\) i \(\displaystyle{ (2,3)}\) i wykorzystaj liniowość przekształcenia oraz fakt, że to wektory własne.

Pozdrawiam.

[horrorschau]

kurcze,nie bylo mnie na tym wykladzie i nie zabardzo wiem jak sie za to zabrac;/
Bylbym wdziecznuy jakbys rozwiazala to zadanie,aj przeanalizuje tok myslenia i pozostale ktore mam do zrobienia mam nadzieje ze zrobie juz sam.

[BettyBoo]

Jeśli \(\displaystyle{ f}\) jest przekształceniem liniowym, \(\displaystyle{ x}\) wektorem oraz \(\displaystyle{ a}\) skalarem, to jeśli \(\displaystyle{ f(x)=ax}\) dla pewnego niezerowego wektora \(\displaystyle{ x}\), to \(\displaystyle{ a}\) nazywamy wartością własną przekształcenia \(\displaystyle{ f}\), a dowolny wektor \(\displaystyle{ x}\) spełniający to równanie jest wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej \(\displaystyle{ a}\).



W Twoim zadaniu z danych wynika, że

\(\displaystyle{ f(1,2)=1(1,2)=(1,2),\ f(2,3)=2(2,3)=(4,6)}\)

No to przedstawiasz teraz wektor \(\displaystyle{ (0,1)}\) za pomocą podanych dwóch - oczywiście jako kombinację liniową - czyli szukasz takich \(\displaystyle{ a,b}\), że \(\displaystyle{ (0,1)=a(1,2)+b(2,3)}\) (na tym wykładzie już pewnie byłeś, bo to z przestrzeni liniowych) - normalnie rozwiązujesz sobie to równanie (które de facto jest układem równań).

Wtedy - z liniowości przekształcenia - otrzymujesz, że

\(\displaystyle{ f(0,1)=af(1,2)+bf(2,3)}\)

Wyliczasz, podstawiasz i gotowe.

Pozdrawiam.

[horrorschau]

no to a= 2,
b = -1/2 ,
wiec f(0,1) wychodzi mi (0,1)
Czy to mozliwe?

[BettyBoo]

no to a= 2,
b = -1/2 ,
wiec f(0,1) wychodzi mi (0,1)
Czy to mozliwe?

To oczywiście niemożliwe, bo obie przestrzenie własne tego przekształcenia są jednowymiarowe, więc wektory własne odpowiadające wartości własnej 1 są postaci \(\displaystyle{ (t,2t)}\), a wartości własnej 2 odpowiadają wektory własne postaci \(\displaystyle{ (2t,3t)}\).

Pomyliłeś się w obliczeniach. Powinno być \(\displaystyle{ a=2,\ b=-1}\), więc \(\displaystyle{ f(0,1)=2(1,2)-(4,6)=(-2,-2)}\)

Pozdrawiam.