Wektory, bazy

[bluerek]

Witam. Proszę o pomoc, nie mam zielonego pojęcia jak rozwiązać te oto zadania:

1. Czy wektor \(\displaystyle{ (1,0,1,1)}\) jest liniową kombinacją wektorów\(\displaystyle{ (1,1,1,1),(0,1,1,1),(1,0,0,0)}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{2}^{4}}\)?

2. Wyznaczyć wymiary i bazy podprzestrzeni \(\displaystyle{ U, V, U+V, U \cap V}\) przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{3}}\):

\(\displaystyle{ U=lin((0,1,2),(-1,1,1),(-2,3,4)), V=lin((1,1,1),(1,0,-1),(3,2,1))}\)

3. Udowodnić, że \(\displaystyle{ f : \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2},f(x,y,z)=(x+y+z,x+y-z)}\) jest przekształceniem liniowym. Wyznaczyć wymiar i przykładową bazę \(\displaystyle{ Ker(f)}\).

[BettyBoo]

1) sprawdź czy jest możliwe, aby była spełniona równość \(\displaystyle{ (1,0,1,1)=a(1,1,1,1)+b(0,1,1,1)+c(1,0,0,0)}\) dla pewnych \(\displaystyle{ a,b,c\in\mathbb{Z}_2}\)(wszystkie działania modulo 2)

2) Można to zrobić na różne sposoby. Przykładowy jest taki:

Dla \(\displaystyle{ U}\): tworzysz macierz, której kolumnami są podane wektory generujące \(\displaystyle{ U}\) i wyznaczasz jej rząd. Wówczas rząd określa wymiar \(\displaystyle{ U}\), a przykładową bazę tworzy odpowiednia (równa rzędowi) ilość wektorów liniowo niezależnych wybranych spośród generatorów.

Dla \(\displaystyle{ V}\) analogicznie, dla \(\displaystyle{ U+V}\) tworzysz macierz, której kolumnami są zarówno generatory \(\displaystyle{ U}\) jak i \(\displaystyle{ V}\) (możesz zamiast generatorów wpisać obliczone wcześniej przykładowe bazy).

Zrób najpierw to, to Ci na tym przykładzie pokażę, jak to dokładnie wygląda dla \(\displaystyle{ U \cap V}\) - w skrócie to wygląda tak, że bazę bierze się z rozwiązania jednorodnego układu równań, którego macierzą współczynników jest macierz, którą zapisałeś dla \(\displaystyle{ u+V}\)


3) sprawdzasz to z definicji przekształcenia. Dla znalezienia jądra rozwiązujesz równanie \(\displaystyle{ f(x,y,z)=(0,0)}\), a z postaci rozwiązania łatwo widać bazę (zrób najpierw początek, to Ci pokażę, jak widać)

Pozdrawiam.

[bluerek]

jak mam sprawdzić czy to jest możliwe? Możesz mi to opisać dokładnie?

[BettyBoo]

Sprawdź, czy to równanie ma rozwiązanie (to nie jest zbyt skomplikowane) - wymnóż wektory przez stałe, dodaj, skorzystaj z równości wektorów i zobaczysz.

Pozdrawiam.

[bluerek]

1. \(\displaystyle{ \begin{cases} a+c=1 \\ a+b=0 \\ a+b=1 \\ a+b=1 \end{cases}}\), i pomijając to, że \(\displaystyle{ a+b=0}\) (czy właśnie tego nie pomijać?) wychodzi, że \(\displaystyle{ a=b=c= \frac{1}{2}}\) więc nie jest kombinacją wektorów, tak??


2. \(\displaystyle{ RU=3, RV=3}\) czyli bazą w jednym i drugim przypadku będzie macierz z której liczyłem rząd?

jeśli tak to bazą \(\displaystyle{ U+V}\) będzie po prostu macierz \(\displaystyle{ 3 \times 6}\)?

A bazą \(\displaystyle{ U \cap V}\) będzie \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}4\\6\\5\end{array}\right]}\) ?


3. \(\displaystyle{ \begin{cases} x+y+z=0 \\ x+y-z=0 \end{cases}}\), czyli \(\displaystyle{ x=y}\) i \(\displaystyle{ z=-x-y}\) ? nie rozumiem tego zbytnio:(

[BettyBoo]

1) Jak możesz pomijać równanie w układzie równań?? Widać chyba, że układ jest sprzeczny? Przecież \(\displaystyle{ 0\neq 1}\), więc 2 i 3 równanie nie mogą być jednocześnie spełnione...

2) Nawet nie wiem co Ci odpisać, bo to co tu natworzyłeś to kompletny bezsens...Naum się może najpierw co to jest rząd macierzy i baza, to pogadamy dalej...

3) Normalnie rozwiąż ten układ równań - 2 równania, 3 niewiadome, to łatwo wychodzi (nie wiem skąd wziąłeś to, co napisałeś).

Pozdrawiam.

[bluerek]

3) \(\displaystyle{ \begin{cases} x=-y \\ z=0 \end{cases}}\) tyle wiem. co dalej?

2) \(\displaystyle{ R(U)=3}\) i \(\displaystyle{ R(V)=3}\). a baza? nie mogę tego rozkminić. bazą \(\displaystyle{ U}\) będzie: \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&-1&1\\1&1&1\\1&0&0\end{array}\right]}\) ??

[BettyBoo]

3) no i z tego masz już postać dowolnego wektora, który należy do jądra tego przekształcenia, czyli możesz zapisać

\(\displaystyle{ Ker(f)=\{(-t,t,0),\ t\in \mathbb{R}\}}\)

Wobec tego przykładową bazą jest \(\displaystyle{ ((-1,1,0))}\)

2) jak CI wyszło, że te rzędy są równe 3?? Bo akurat oba są równe 2..podaj obliczenia.

Pozdrawiam.

[bluerek]

tak, sorry. Rzędy są równe 2. namieszałem sobie sam. Te wektory są zależne liniowo, więc baza nie istnieje??

[BettyBoo]

Heh, naum się co to baza, zrób to dla mnie, dobra? Bo nie wiem, co Ci odpowiadać, jak mi piszesz takie herezje

Baza istnieje i jest dwuelementowa (wskazuje na to rząd). Z podanych wektorów generujących przestrzeń U trzeba wybrać dowolne dwa liniowo niezależne i to jest przykładowa baza. Dla V to samo.

Pozdrawiam.

[bluerek]

nauczę się;) jutro egzamin więc się nauczę. Dzięki wielkie ;*