wyznacznik macierzy 5x5 - błąd

[tomek8899]

witajcie liczę wyznacznik takiej macierzy
\(\displaystyle{ det\begin{bmatrix} 2&1&1&1&1\\1&2&1&1&1\\1&1&2&1&1\\1&1&1&2&1\\1&1&1&1&2\end{bmatrix}}\)
operacje na kolumnach
k2=k2-k3
k3=k3-k4
k4=k4-k5
k5=k5-k4
można tak?
wychodzi mi potem
\(\displaystyle{ det\begin{bmatrix} 2&0&0&0&0\\1&1&0&0&0\\1&-1&1&0&0\\1&0&-1&1&-1\\1&0&0&-1&1\end{bmatrix}}\)
a ten z kolejnych podobnych działań wychodzi 0 wiec cały jest równy 0 a powinien być 6
wygląda na to że błąd jest w przekształceniach, co jest nie tak?

[BettyBoo]

Można tak, ale nie wychodzi to co napisałeś. Po operacjach \(\displaystyle{ k2=k2-k3, k3=k3-k4, k4=k4-k5}\) masz

\(\displaystyle{ det\begin{bmatrix} 2&0&0&0&1\\1&1&0&0&1\\1&-1&1&0&1\\1&0&-1&1&1\\1&0&0&-1&2\end{bmatrix}}\)

więc ostatnie przekształcenie daje zupełnie co innego niż piszesz.

Można wykonać na początku \(\displaystyle{ k1=k1-k2}\), a potem te trzy przekształcenia, o których wyżej i wtedy będzie


\(\displaystyle{ det\begin{bmatrix} 1&0&0&0&1\\-1&1&0&0&1\\0&-1&1&0&1\\0&0&-1&1&1\\0&0&0&-1&2\end{bmatrix}}\)

Teraz można wyzerować elementy ostatniej kolumny za pomocą pierwszych 4. Na początek wykonaj \(\displaystyle{ k5=k5-k1}\) to zobaczysz, co trzeba dalej zrobić.

Pozdrawiam.

[Crizz]

Może jeszcze taka uwaga: twój błąd polega na założeniu, że operacje
k4:=k4-k5
k5:=k5-k4
można wykonać jednocześnie. Otóż nie można, któraś musi być pierwsza.

[tomek8899]

aha czyli nie mogę wykonać jednocześnie zerowania kolumny 4 i 5? ale dlaczego? podacie jakieś twierdzenie? na podstawie czego nie mogę?

[BettyBoo]

Co to znaczy jednocześnie?? Żadnych operacji na macierzach nie wykonuje się jednocześnie, ZAWSZE jest jakaś kolejność działań. Czasami tylko ta kolejność ma znaczenie, a czasami nie ma. W Twoim przykładzie kolejność każdego działania ma znaczenie.

A wytłumacz mi, jak wykonałeś te działania, że ostatnia kolumna wg Ciebie tak po nich wygląda..?

Pozdrawiam.

[tomek8899]

po kolei kolumna 5 czyli k5=k5-k4 tak jak wyżej napisałem
1-1=0
1-1=0
1-1=0
1-2=-1
2-1=1

czyli tego nie mogę zrobić?
a w tym pierwszym kroku mógłbym wykonać działanie k1=k1-2k5 ? i wyznaczać dalej według kolumny 5 itd...

[BettyBoo]

A zauważyłeś, że na początku masz napisane \(\displaystyle{ k5=}\)? A w poprzednim działaniu masz \(\displaystyle{ k4=}\)? To skoro zmieniłeś kolumnę 4 w poprzednim działaniu, to dlaczego wykorzystujesz do dalszych obliczeń niezmienioną kolumnę 4?

a w tym pierwszym kroku mógłbym wykonać działanie k1=k1-2k5 ? i wyznaczać dalej według kolumny 5 itd...

Mógłbyś.

Pozdrawiam.

[Mariusz M]

Gdy otrzymamy taki wyznacznik

\(\displaystyle{ det\begin{bmatrix} 1&0&0&0&1\\-1&1&0&0&1\\0&-1&1&0&1\\0&0&-1&1&1\\0&0&0&-1&2\end{bmatrix}}\)

to czy nie lepiej dalej wykonać operacje na wierszach

A jak już koniecznie chcecie na kolumnach to możecie np tę macierz transponować

[Crizz]

A zauważyłeś, że na początku masz napisane \(\displaystyle{ k5=}\)? A w poprzednim działaniu masz \(\displaystyle{ k4=}\)? To skoro zmieniłeś kolumnę 4 w poprzednim działaniu, to dlaczego wykorzystujesz do dalszych obliczeń niezmienioną kolumnę 4?

Właśnie to miałem na myśli, mówiąc "jednocześnie".

mariuszm, w sumie można rzeczywiście idąc od góry dodać dany wiersz do następnego i wyjdzie macierz trójkątna. Ładnie wtedy widać, że wyznacznik wychodzi 6, bo do 2 na ostatnim miejscu macierzy dodamy wszystko z poprzednich rzędów w ostatniej kolumnie.

tomek8899, co do twierdzenia o które pytasz, traktuj te działania, które tu wykonujesz, jak przekształcanie układów równań: możesz dane równanie pomnożyć przez niezerową stałą i dodać do innego, układ się nie zmieni. To, co ty próbowałeś zrobić, miało mniej więcej taki sam skutek, jak zastąpienie dwóch równań pojedynczym (które wynika z odjęcia równań stronami), tak jakbyś zastąpił równania:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 5x+3y=1 \\ 2x+7y=0 \end{cases}}\)
równaniami:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x-4y=1 \\ -3x+4y=-1 \end{cases}}\)
(jednocześnie odjąłeś od pierwszego drugie i od drugiego pierwsze stronami). Zauważ, że otrzymany układ nie jest równoważny z tym poprzednim, a te dwa przekształcone równania tak naprawdę zawierają tę samą informację.

Zupełnie inaczej ma się sytuacja, gdy najpierw odejmiesz pierwsze równanie stronami od drugiego, a potem drugie równanie stronami od pierwszego:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 8x-y=2 \\ -3x+4y=-1\end{cases}}\)
Tak byłoby OK.