diagonalna macierz formy kwadratowej

horrorschau · Post autor: **horrorschau** » 29 sty 2010, o 13:23

Mam problem z takim oto zadaniem:
Sprowadzic do postaci kanonicznej forme kwadratowa:\(\displaystyle{ - x^{2} +3 y^{2} + z^{2} +4xy-4xz+2yz.}\)
Znalesc baze w ktorej macierz formy jest diagonalna,podac te macierz.
Wiem jak znalesc postac kanoniczna tej formy,ale reszte nie mam pojecia jak zrobic.
Czy moglby ktos mi pomoc?
pozdrawiam

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 29 sty 2010, o 15:59

To jak wygląda baza zależy od tego, jaka metodą szukasz postaci kanonicznej. A jaką metodą szukasz?

Pozdrawiam.

horrorschau · Post autor: **horrorschau** » 29 sty 2010, o 16:19

poprzez operacje elementarne na wierszach i kolumnach

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 29 sty 2010, o 20:26

Hm...takiej metody nie znam - przykład jakiś?

Pozdrawiam.

horrorschau · Post autor: **horrorschau** » 30 sty 2010, o 10:08

no chodzi o to ze tworzymy macierz formy i doprowadzamy do postaci ze tylko na przekatnej sa liczby a reszta to zera. Robimy to wykonujac operacje na wierszach a pozniej takie same na kolumnach.

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 30 sty 2010, o 11:19

Nadal nie widzę jak to ma działać. Metoda Lagrange'a, Jacobi'ego lub przekształceń ortogonalnych - jeśli żadnej nie znasz, to się nie dogadamy.

Pozdrawiam.

horrorschau · Post autor: **horrorschau** » 30 sty 2010, o 11:34

No znam tez metode lagrange'a.
To zalozmy ze robie ta metoda.
Znajde postac kanoniczna.
i jak dalej "Znalesc baze w ktorej macierz formy jest diagonalna i podac ta macierz"?
pozdrawiam

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 30 sty 2010, o 12:04

Jeśli \(\displaystyle{ (x,y,z)}\) to oryginalne współrzędne, a \(\displaystyle{ (a,b,c)}\) to nowe współrzędne, w których forma ma postać kanoniczną, to przy okazji metody Lagrange'a otrzymujesz układ podstawień

\(\displaystyle{ \begin{cases} a=x+a_1y+a_2z\\ b=y+b_1z\\ c=z\end{cases}}\)

Macierz współczynników tego układu jest macierzą przejścia od szukanej bazy do danej. Ciebie interesuje macierz do niej odwrotna - jej kolumny to współrzędne szukanych wektorów bazowych.

Pozdrawiam.

horrorschau · Post autor: **horrorschau** » 30 sty 2010, o 12:22

no to obliczylem postac kanoniczna ktora rowna jest:
\(\displaystyle{ - (x-2y+2z)^{2} + 7(y- \frac{1}{7} ) ^{2} - 4 \frac{6}{7} z^{2}}\)
No i co dalej, bo niezbyt rozumiem....(a w pon.egzamin;/)

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 30 sty 2010, o 12:33

No to masz ciąg postawień (zapisz macierzowy od razu)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&-2&2\\ 0&1&-\frac{1}{7}\\ 0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}\)

Zgadza się? No to macierz

\(\displaystyle{ P=\begin{bmatrix}1&-2&2\\ 0&1&-\frac{1}{7}\\ 0&0&1\end{bmatrix}}\)

jest właśnie macierzą przejścia - tyle tylko, że nie w tą stronę, która Ci jest potrzebna. Trzeba ją odwrócić - to chyba umiesz? Macierz \(\displaystyle{ P^{-1}}\) jest macierzą przejścia z bazy kanonicznej do szukanej, więc kolejne kolumny macierzy \(\displaystyle{ P^{-1}}\) są kolejnymi wektorami bazy, której szukasz.

Pozdrawiam.

horrorschau · Post autor: **horrorschau** » 30 sty 2010, o 14:10

A wiec wyszlo mi w koncu ze ta baza to (1,0,0),(2,1,0),(-8/7,1/7,1).
Mógłby to ktos sprawdzic czy jest wszystko dobrze?

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 30 sty 2010, o 14:22

Prawie, ostatni wektor to \(\displaystyle{ \left(-\frac{12}{7},\frac{1}{7}, 1\right)}\).

Gwoli uzupełnienia, to jest baza, w której forma ma postać kanoniczną

\(\displaystyle{ - a^{2} + 7b^{2} - 4 \frac{6}{7} c^{2}}\)

Pozdrawiam.

horrorschau · Post autor: **horrorschau** » 30 sty 2010, o 14:32

a czy to ze to jest baza w ktorej forma jest postaci kanonicznej znaczy to samo co Znalesc baze w ktorej macierz formy jest diagonalna???

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 30 sty 2010, o 14:49

Postać kanoniczna formy kwadratowej to właśnie taka postać, w której macierz tej formy jest diagonalna.

Pozdrawiam.

horrorschau · Post autor: **horrorschau** » 30 sty 2010, o 15:09

dziekuje Ci bardzo za pomoc,nie wiem co bym bez Ciebie zrobil!