Witam
Przygotowywując się na sesję zabrałem się za poniższe zadanka, bardzo proszę o pomoc w ich rozwiązaniu
1.
\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix}1&-3&4\\3&1&-1\\4&5&-6\end{bmatrix} \qquad B=\begin{bmatrix}7\\4\\1\end{bmatrix}}\).
Podany system rozwiąż metodą Gaussa i przy zastosowania twierdzenia Kroneckera-Capellego.
2.
\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix}5&-1&2&7\\0&\alpha&1&-3\\0&2\alpha&\alpha&-6\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}}\).
Przedyskutuj, bez rozwiązywania, liczbę rozwiązań systemu \(\displaystyle{ A\chi=B}\) w zależności od od parametru \(\displaystyle{ \alpha \in R}\).
3.
Znajdź wartości własne wraz z ich algebraicznymi i geometrycznymi wielokrotnościami. Znajdź wektory własne.
\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix}0&-4&1&-3\\9&0&1&7\\0&0&4&1\\0&0&0&4\end{bmatrix}}\)
Jedynie z zadaniem trzecim jako tako sobie poradziłem. Co do pierwszego to oczywiście znam metodę Gaussa i twierdzenie K-C ale za cholere nie mogę przekształcić tego systemu.
Jeżeli natomiast chodzi o zadanie drugie to nie mam zielonego pojęcia o co w nim chodzi i jak je ugryźć.
Propozycja rozwiązania zadania 3.:
\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix}0&-4&1&-3\\9&0&1&7\\0&0&4&1\\0&0&0&4\end{bmatrix}C_1\longleftrightarrow C_2 -\begin{bmatrix}-4&0&1&-3\\0&9&1&7\\0&0&4&1\\0&0&0&4\end{bmatrix}\\
\\
-\begin{bmatrix}-4-\alpha&0&1&-3\\0&9-\alpha&1&7\\0&0&4-\alpha&1\\0&0&0&4-\alpha\end{bmatrix}\\
det \left(A-\alpha I \right) =- \left( -4-\alpha\right) \left(9-\alpha \right) \left( 4-\alpha\right) \left( 4-\alpha\right) = \left(4+\alpha \right) \left(4-\alpha \right)^{2} \left( 9-\alpha\right)\\
\left(4+\alpha \right) \left(4-\alpha \right)^{2} \left( 9-\alpha\right)=0\\
\alpha_1=-4 \qquad \alpha_2=4 \qquad \alpha_3=9\\
k_1=1 \qquad k_2=2 \qquad k_3=1\\
m_1=1 \qquad m_3=1\\
\alpha=4\\
\begin{vmatrix}0&1&-3\\5&1&7\\0&0&1\end{vmatrix}= \left(-1 \right)^{3+3} \cdot 1\begin{vmatrix}0&1\\5&1\end{vmatrix}=-5\\
rank=3\\
m_2=n-rank=1\\
\left(A-\alpha I \right) \chi=0\\
\begin{cases}-8x+z=0\\5y+z=0\end{cases}\\
z=t\\
\begin{cases}x=\frac{t}{8}\\y=\frac{-t}{5}\end{cases}\\
\chi=\begin{bmatrix}\frac{t}{8}\\\frac{-t}{5}\end{bmatrix}=t\begin{bmatrix}\frac{1}{8}\\\frac{-1}{5}\end{bmatrix}\\}\)
Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu dwóch pierwszych zadań i sprawdzenie poprawności rozwiązania trzeciego.
pozdrawiam i z góry serdecznie dziękuje
-- 27 stycznia 2010, 14:01 --
chyba doszedłem jak zrobić zadanie pierwsze.
oto moje rozwiazanie:
1.
\(\displaystyle{ A|B=\begin{bmatrix}1&-3&4 |&7\\3&1&-1 |&4\\4&5&-6 |&1\end{bmatrix} \Rightarrow R_3=R3-4R_1, \ R_2=R_2-3R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix}1&-3&4 |&7\\0&10&-13 |&-17\\0&17&-22 |&-27\end{bmatrix} \Rightarrow R_2=\frac{1}{10}R_2 \Rightarrow \\ \Rightarrow \begin{bmatrix}1&-3&4 |&7\\0&1&-1,3 |&-1,7\\0&17&-22 |&-27\end{bmatrix} \Rightarrow R_3=R_3-17R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix}1&-3&4 |&7\\0&1&-1,3 |&-1,7\\0&0&0,1 |&1,9\end{bmatrix} \\
\\
r \left( A\right)=r \left(A^{'} \right) \\
n=3\\
r \left( A\right) \le 3\\
\begin{vmatrix}1&-3&4\\0&1&-1,3\\0&0&0,1\end{vmatrix}=0,1 \neq 0\\
k_0=n-r=0\\
\hbox{system ma dokładnie jedno rozwiązanie}\\
\chi =\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}\\
\begin{cases}x_1-3x_2+4x_3=7\\x_2-1,3x_3=-1,7\\0,1x_3=1,9\end{cases}\\
x_3=19\\
x_2=23\\
x_1=0\\}\)
bardzo prosze o sprawdzenie mojego roziwazania
-- 29 stycznia 2010, 12:59 --
dzięki za 'pomoc' , juz sobie sam poradzilem...