rząd macierzy - sprawdzenie

[tomek8899]

taka macierz i trzeba obliczyć jej rząd i utknąłem...
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-2&3&4\\-3&-2&-1&-4\\2&-2&4&6\end{bmatrix}}\)
wykonuje operacje w2:=w2+3w1 oraz w3:=w3-2w1 (ok?)
później zeruje prostopadle i mam:
rz\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&-8&8&8\\0&2&-2&-2\end{bmatrix}}\)
skreślam ostatnią kolkumne
rz\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&-8&8\\0&2&-2\end{bmatrix}}\)
wiersz 2 dziele przez 8, wiersz 3 dziele przez 2
rz\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&-1&1\\0&1&-1\end{bmatrix}}\)
i teraz czy kolumna 2 i 3 są podobne? jeśli tak to skreślam kolumnę 3 i mam
rz\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0\\0&-1\\0&1\end{bmatrix}}\)
i teraz jeśli wiersz 2 i 3 są podobne to skreślam wiersz 2 i otrzymuje macierz jednostkową
rz\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&1\end{bmatrix}}\)
tylko czy te dwie ostatni operacje są ok?
jeśli tak to rząd macierzy wychodzi 2 na podstawie ostatniego działania.

to jak będzie to wyglądało dla macierzy:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-2&3&4&-5\\-3&-2&-1&-4&-1\\2&-2&4&6&-6\end{bmatrix}}\) z tym nie umiem sobie poradzić

[BettyBoo]

A po co takie długie coś? Tak Ci każą robić?

\(\displaystyle{ r\begin{bmatrix} 1&-2&3&4\\-3&-2&-1&-4\\2&-2&4&6\end{bmatrix}=r\left[\begin{array}{c|ccc} 1&-2&3&4\\ \hline 0&-8&8&8\\0&2&-2&-2\end{array}\right]=\\ \\ 1+r\begin{bmatrix}-8&8&8\\ 2&-2&-2\end{bmatrix}=1+1=2}\)

bo wiersze są proporcjonalne.

W drugim analogicznie.

Pozdrawiam.

[tomek8899]

BettyBoo, tak kazują robić
powiedz czy krok
i teraz czy kolumna 2 i 3 są podobne? jeśli tak to skreślam kolumnę 3 i mam
rz\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0\\0&-1\\0&1\end{bmatrix}}\)
jest poprawny i dalej również?

[BettyBoo]

Ta metoda jest potwornie długa (!), już szybciej byś to zrobił za pomocą klasycznej eliminacji Gaussa.

W każdym razie, kolumna 2 i 3 są liniowo zależne (proporcjonalne), więc jedną można wykreślić. Ostatnie operacje też są OK.

Nie umiem tylko wyczaić jakimi operacjami wyzerowałeś pierwszy wiersz, ale nic to

Pozdrawiam.

[tomek8899]

Nie umiem tylko wyczaić jakimi operacjami wyzerowałeś pierwszy wiersz, ale nic to

Pozdrawiam.

pierwszy wiersz wyzerowany z zależności że w kolumnie gdzie występują same zera a tylko jeden element nie jest zerem to wiersz gdzie jest niezerowy element można wyzerować (jakoś tak)

może i długa no ale taką metodą nas uczą więc na to nic nie poradzę
czyli jeśli jest ok to dobrze

a co do tej drugiej macierzy to jeśli bym sprawdzał minory (w tej macierzy 3) i policzyć ich wyznaczniki które w tym przypadku są równe zero, biorę dalej minor stopnia 2 pierwszy z kraja i wychodzi jakaś liczba (nie zero) więc rząd macierzy jest równy stopniowi 2? dobrze rozumie teorię?

[BettyBoo]

Generalnie dobrze rozumiesz teorię, ale niestety minorów tej macierzy jest \(\displaystyle{ {5\choose 3}=10}\), więc nie polecam tej metody, jest ona jeszcze dłuższa niż ta Twoja

Pozdrawiam.