Odwzorowania liniowe

[billythekid]

Witam mam parę przykładów z którymi nie umiem sobie poradzić. Nie wiem czy nie znam jakiegoś twierdzenia czy po prostu czegoś nie zauważam. Oto te przykłady (należy rozstrzygnąć czy odwzorowania te są liniowe):

\(\displaystyle{ f: R _{n} [x] \rightarrow R _{n} [x], f(W)=W ^{k}}\)
\(\displaystyle{ f: R _{n} [x] \rightarrow R _{n} [x], (f(W))(x)=W(x+1)-W(x)}\)
\(\displaystyle{ f: R _{n} [x] \rightarrow R _{n} [x], (f(W))(x)=W(x ^{2} )}\)

Bardzo proszę o pomoc, nie wiem czym jest magiczne W chyba że jest tym samym co p w przykładzie 8.1 podpunkt d w książce Algebra Liniowa 2 (Gewert, Skoczylas). Chociaż jak ktoś móglby bopdać sam warunek jaki ma być spełniony albo coś w tym stylu:)

Pozdrawiam serdecznie

[BettyBoo]

Magiczne \(\displaystyle{ W}\) jest dowolnym wielomianem, który należy do dziedziny \(\displaystyle{ f}\) - w Twoicj zadaniach jest to wielomian stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ n}\)-tego.

Odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ f}\), poza tym, że musi być dobrze określone, to - jak sama nazwa wskazuje - musi być liniowe, czyli \(\displaystyle{ f(ax+by)=af(x)+bf(y)}\) dla dowolnych wektorów (=elementów przestrzeni wektorowej) \(\displaystyle{ x,y}\) oraz dowolnych skalarów \(\displaystyle{ a,b}\).

Pozdrawiam.