Witam
Nie rozumiem powiązania postaci wielomianowej typu \(\displaystyle{ x^2-2x+2, y-x}\) itd. z wektorami.
Często w zadaniach z algebry pojawiają się zagadnienia typu Uzasadnić liniowość przekształceń \(\displaystyle{ R[x] \rightarrow R[x]}\)
Mógłby mi ktoś to wytłumaczyć lub podać źródło, gdzie mógłbym o tym poczytać? Starałem się szukać w google i tutaj na stronie ale ciężko mi jest to konkretnie nazwać
Pozdrawiam
wielomian jako wektor, w jakiej postaci?
-
BettyBoo
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
wielomian jako wektor, w jakiej postaci?
Wiesz, co to współrzędne wektora w bazie? Ograniczmy się do przestrzeni skończonego wymiaru. Niech przestrzeń \(\displaystyle{ W}\) ma bazę \(\displaystyle{ B=(b_1,b_2,...,b_n)}\). Wtedy \(\displaystyle{ x\in W}\) da się zapisać jakokombinację liniową wektorów bazy \(\displaystyle{ B}\) (z definicji bazy) - czyli istnieją takie skalary \(\displaystyle{ \alpha_1,...,\alpha_n}\), że
\(\displaystyle{ x=\alpha_1b_1+\alpha_2b_2+\cdots +\alpha_nb_n}\)
co zapisujemy w skrócie
\(\displaystyle{ x=[\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n]_B}\)
lub \(\displaystyle{ x=[\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n]}\)
(jeśli wiadomo o jaką bazę chodzi - np w przypadku bazy kanonicznej - lub jeśli nie jest to istotne ).
No to weźmy bazę kanoniczną w przestrzeni wielomianów, powiedzmy stopnia co najwyżej 2 - ma ona postać \(\displaystyle{ (1,x,x^2)}\), tak?
No to np dla \(\displaystyle{ 2x^2-3}\) mamy
\(\displaystyle{ 2x^2-3=2\cdot x^2+0\cdot x+(-3)\cdot 1=[2,0,-3]}\)
i tak oto wielomian stał się wektorem.
Pozdrawiam.-- 25 sty 2010, o 19:55 --Oczywiście oszukuję trochę.
\(\displaystyle{ 2x^2-3=2\cdot x^2+0\cdot x+(-3)\cdot 1=[2,0,-3]}\)
to wektor współrzędnych tego wielomianu w bazie \(\displaystyle{ (x^2,x,1)}\), natomiast w tej bazie, którą podaję wyżej (i którą zwykle uważa się za kanoniczną) mamy \(\displaystyle{ [-3,0,2]}\) (jak zwykle ostatnio, jedno piszę, drugie myślę bleee....)
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ x=\alpha_1b_1+\alpha_2b_2+\cdots +\alpha_nb_n}\)
co zapisujemy w skrócie
\(\displaystyle{ x=[\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n]_B}\)
lub \(\displaystyle{ x=[\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n]}\)
(jeśli wiadomo o jaką bazę chodzi - np w przypadku bazy kanonicznej - lub jeśli nie jest to istotne ).
No to weźmy bazę kanoniczną w przestrzeni wielomianów, powiedzmy stopnia co najwyżej 2 - ma ona postać \(\displaystyle{ (1,x,x^2)}\), tak?
No to np dla \(\displaystyle{ 2x^2-3}\) mamy
\(\displaystyle{ 2x^2-3=2\cdot x^2+0\cdot x+(-3)\cdot 1=[2,0,-3]}\)
i tak oto wielomian stał się wektorem.
Pozdrawiam.-- 25 sty 2010, o 19:55 --Oczywiście oszukuję trochę.
\(\displaystyle{ 2x^2-3=2\cdot x^2+0\cdot x+(-3)\cdot 1=[2,0,-3]}\)
to wektor współrzędnych tego wielomianu w bazie \(\displaystyle{ (x^2,x,1)}\), natomiast w tej bazie, którą podaję wyżej (i którą zwykle uważa się za kanoniczną) mamy \(\displaystyle{ [-3,0,2]}\) (jak zwykle ostatnio, jedno piszę, drugie myślę bleee....)
Pozdrawiam.