własności zbiorów algebraicznych

[ignis]

Niech: \(\displaystyle{ \mathfrak{a}, \mathfrak{b}}\) będą ideałami pierścienia \(\displaystyle{ F[X_{1}\ldots X_{n}]}\), \(\displaystyle{ Z}\)- zbiór algebraiczny Wtedy:
\(\displaystyle{ (1)}\)\(\displaystyle{ \mathfrak{a} \subseteq \mathfrak{b} \Rightarrow Z(\mathfrak{a}) \supseteq Z(\mathfrak{b})}\)

\(\displaystyle{ (2)}\) \(\displaystyle{ I(Z(\mathfrak{a})) \supseteq \mathfrak{a}}\)

Bardzo proszę o pomoc, siedziałam nad tym dość długo i w \(\displaystyle{ (1)}\) mniej więcej wiem o co chodzi ale nie wiem jak mam zapisać, a \(\displaystyle{ (2)}\) w ogóle nie potrafię ruszyć.
Pozdrawiam.

[max]

1. Załóżmy, że \(\displaystyle{ \mathfrak{a}\subset \mathfrak{b}.}\)
Ustalmy \(\displaystyle{ a\in Z(\mathfrak{b}).}\)
Weźmy \(\displaystyle{ f\in \mathfrak{a}.}\) Z założonej inkluzji mamy \(\displaystyle{ f\in \mathfrak{b}.}\) Zatem z definicji \(\displaystyle{ Z(\mathfrak{b})}\) jest \(\displaystyle{ f(a) = 0.}\)
Czyli \(\displaystyle{ a\in Z(\mathfrak{a}).}\)

2. Ustalmy \(\displaystyle{ f\in \mathfrak{a}.}\)
Weźmy \(\displaystyle{ a\in Z(\mathfrak{a}).}\)
Z definicji \(\displaystyle{ Z(\mathfrak{a})}\) jest \(\displaystyle{ f(a) = 0.}\)
Zatem \(\displaystyle{ f\in I(Z(\mathfrak{a})).}\)

[ignis]

dziękuję Ci bardzo, a jak pokazać inlkuzję: \(\displaystyle{ Z(I(V))\supseteq V}\) , \(\displaystyle{ V}\)- zbiór algebraiczny. Proszę o pomoc bo w drugą stronę ona też zachodzi i potrafie sobie z nią poradzić a z tą nie

[max]

Ustalmy \(\displaystyle{ a\in V.}\)
Weźmy \(\displaystyle{ f\in I(V).}\)
Z definicji \(\displaystyle{ I(V)}\) jest \(\displaystyle{ f(a) = 0.}\)
Zatem \(\displaystyle{ a\in Z(I(V)).}\)