układ liniowy - zapytanie

sanogo7 · Post autor: **sanogo7** » 24 sty 2010, o 13:32

witam serdecznie. Mam problem z rozwiązaniem układu równań .
\(\displaystyle{ \begin{cases}2x-y+z = 1\\
6x-3y+3z = 3\\
4x-2y+2z = 2
\end{cases}}\)
rząd macierzy nie może być chyba 2 , ponieważ nie ma żadnego wyznacznika różnego od zera.
wie ktoś jak to rozwiązać.. ?

miki999 · Post autor: **miki999** » 24 sty 2010, o 13:36

Od razu widać, że wszystkie 3 równanie to "to samo" (podziel 2. i 3. równanie przez odpowiednią liczbę).
Należy wysunąć wnioski.

r4fall · Post autor: **r4fall** » 24 sty 2010, o 13:47

Może spróbuj tak;)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc|c}2&1&1&1\\6&-3&3&3\\4&-2&2&2\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{ccc|c}2&1&1&1\\0&-6&0&0\\0&-4&0&0\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{ccc|c}2&1&1&1\\0&-6&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right]}\)
Czyli: \(\displaystyle{ \begin{cases} z\in R\\ y=-6\\ x=\frac{7-z}{2}\end{cases}}\)

EnsamVarg · Post autor: **EnsamVarg** » 24 sty 2010, o 13:55

r4fall, co tez ty ...

miki999 · Post autor: **miki999** » 24 sty 2010, o 13:56

Po prostu kolega źle przepisał 1. linijkę macierzy

EnsamVarg · Post autor: **EnsamVarg** » 24 sty 2010, o 13:56

slusznie, nie zauwazylam;)

sanogo7 · Post autor: **sanogo7** » 24 sty 2010, o 14:14

no wiem, że po podzieleniu zostanie to co w pierwszej linijce.
tylko chodzi o to , jak poprawnie sformułować do tego odpowiedź

miki999 · Post autor: **miki999** » 24 sty 2010, o 14:24

no wiem, że po podzieleniu zostanie to co w pierwszej linijce.

To podziel. Następnie od dwóch pozostałych odejmij je i dostaje:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \text{1. równanie}\\ 0=0\\ 0=0\end{cases}}\)
I tyle- układ ma nieskończenie wiele rozwiązań (jeżeli o to Cię pytają).
\(\displaystyle{ rz(A)=1}\)- jeżeli z Kroneckera-Capelliego karzą Ci korzystać.
Przenieś 2 pozostałe zmienne na 2. stronę i napisz, że układ ma nieskończenie wiele rozwiązań z 2 parametrami postaci:
\(\displaystyle{ x=(...)}\)
jeżeli karzą Ci rozwiązać.

Pozdrawiam.

EnsamVarg · Post autor: **EnsamVarg** » 24 sty 2010, o 21:39

miki999 pisze:Po prostu kolega źle przepisał 1. linijkę macierzy

Nie o to mi chodzilo. Skad z ostatniej macierzy wniosek, ze y=-6 ?

miki999 · Post autor: **miki999** » 24 sty 2010, o 22:35

Nie o to mi chodzilo. Skad z ostatniej macierzy wniosek, ze y=-6 ?

No dobra- błąd nr 2.

Pozdrawiam.

r4fall · Post autor: **r4fall** » 25 sty 2010, o 16:30

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc|c}2&-1&1&1\\6&-3&3&3\\4&-2&2&2\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{ccc|c}2&-1&1&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right]}\)
Poprawione. Pierwszy wiersz źle przepisany dlatego w wierszu drugim wyskoczyło nielegalne -6. I żeby nie było to rozwiązanie przedstawia się:
\(\displaystyle{ \begin{cases} z\in R\\ y\in R\\ x=\frac{1+y-z}{2}\end{cases}}\)