Sprawdzić czy zbiór jest podprzestrzenią liniową.

[kacpr90]

Prosiłbym o pomoc bo w pewnym momencie nie wiem co mam dalej robić

\(\displaystyle{ A={(x,y,z,t) \in R^{4}:2x-3z=t \wedge 3x-y=z-t}}\)

Przekształciłem y oraz t:
\(\displaystyle{ y=5x-4z}\)
\(\displaystyle{ t=2x-3z}\)
Następnie wyznaczyłem wektory:
\(\displaystyle{ \vec{a} = [ x_{1} ,5x_{1}- 4z_{1} , z_{1} , 2x_{1} -3z_{1} ]}\)
\(\displaystyle{ \vec{b} = [ x_{2} ,5x_{2}- 4z_{2} , z_{2} , 2x_{2} -3z_{2} ]}\)

Następnie wektory mnoże przez skalary:
\(\displaystyle{ \alpha _{1}\vec{a} +\alpha _{2}\vec{b}= [\alpha _{1}x_{1}+ \alpha _{2}x_{2},... , ]}\)

I nie wiem co mam dalej robić, jak to udowodnić,że ten zbiór jest podprzestrzenią.

[miki999]

No masz 2 warunki określające kiedy dany zbiór elementów pewnej przestrzeni liniowej jest podprzestrzenią liniową.
Musisz je sprawdzić.
Pamiętaj, że nie masz jechać schematami tylko się zastanowić nad danym zagadnieniem i dopiero podjąć decyzję co robić.

[kacpr90]

1. Dla dowolnych wektorów \(\displaystyle{ u,v \in U}\) ich suma \(\displaystyle{ u + v \in U}\)
2. Dla dowolnego skalara \(\displaystyle{ \alpha \in K}\) i dowolnego wektorów \(\displaystyle{ u \in U}\) iloczyn \(\displaystyle{ \alpha u \in U}\)

Ale właśnie nie rozumiem jak mam sprawdzić, czy ten zbiór spełnia dane warunki.

[miki999]

No to jedziesz 1. i 2. warunek.
Sprawdź czy dla dowolnego \(\displaystyle{ \alpha}\) wektor \(\displaystyle{ \alpha \vec{a}}\) jest również elementem tej przestrzeni.
To samo 1. warunek- czy wektor \(\displaystyle{ \vec{c}=\vec{a}+\vec{b}}\) jest elementem tej przestrzeni?

[kacpr90]

Ale jak mam to sprawdzić? Skąd mam wiedzieć czy wektory są elementami przestrzeni?

[miki999]

Dowolne wektory wyglądają tak:

\(\displaystyle{ \vec{a} = [ x_{1} ,5x_{1}- 4z_{1} , z_{1} , 2x_{1} -3z_{1} ]}\)
\(\displaystyle{ \vec{b} = [ x_{2} ,5x_{2}- 4z_{2} , z_{2} , 2x_{2} -3z_{2} ]}\)

\(\displaystyle{ \vec{c}=\vec{a}+\vec{b}=[ x_{1}+x_2 ,5x_{1}- 4z_{1}+5x_2-4z_2 , z_{1}+z_2 , 2x_{1} -3z_{1}+2x_2-3z_2 ]= \\ = [ x_{1}+x_2 ,\ 5(x_{1}+x_2)- 4(z_{1}+z_2) ,\ z_{1}+z_2 ,\ 2(x_{1}+x_2) -3(z_{1}+z_2)]}\)
Wniosek?
Istnieje taki wektor \(\displaystyle{ \vec{c}= [ x_{3} ,5x_{3}- 4z_{3} , z_{3} , 2x_{3} -3z_{3} ]}\), będący elementem tej przestrzeni, że \(\displaystyle{ \vec{c}=\vec{a}+\vec{b}}\), a dokładniej jest to wektor, którego składowe spełniają warunek:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_3=x_1+x_2 \\ z_3=z_1+z_2\end{cases}}\)

2. warunek pozostawiam Tobie.

Oczywiście aby ten zbiór był podprzestrzenią liniową sama musi być przestrzenią liniową.


Pozdrawiam.

[karl153]

"Odgrzebując", temat czy mógł by ktoś napisać pod drugi warunek, np \(\displaystyle{ \vec{a} \cdot}\) mnożę przez jaki skalar ? czy to musi być iloczyn wek.'a' z jakimś skalarem czy można użyć wek.'b' czy trzeba obydwa ?

[miki999]

Skalar \(\displaystyle{ \alpha}\) jest dowolną liczbą rzeczywistą. Wystarczy użyć 1 wektora.