wzór analityczny i bazy przestrzeni

[derobert]

Witam, to mój pierwszy post na forum. Jutro mam kolosa z algebry i dostałem przed chwilą skan zadań jakie mogą się pojawić, kilka rozumiem (niestety te łatwiejsze), natomiast następujące są dla mnie zagadką i nie mogę nic znaleźć o tym w notatkach

1. Znajdź wzór analityczny i macierz w bazie standardowej przekształcenia \(\displaystyle{ Ø : R^{2} \rightarrow R^{2}}\), ktore jest rzutem na prostą Lin{(3, -4)} wzdłuż prostej Lin{(5, -7)}.

2. Znajdź bazy i wymiary przestrzeni kerØ i ImØ, gdy \(\displaystyle{ Ø : R^{4} \rightarrow R^{3}}\) jest opisane macierzą:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&3&0&1\\-3&3&1&1\\4&0&-1&0\end{bmatrix}}\)

3. Niech \(\displaystyle{ Ø : R^{3} \rightarrow R^{3}}\) będzie określone macierzą A = \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&0&0\\6&3&6\\2&2&2\end{bmatrix}}\)

a) znajdź bazę przestrzeni złożoną z wektorów własnych Ø.
b) zapisz macierz przekształcenia Ø w znalezionej bazie.

Wiem, że jest późno i jest sobota, ale gdyby znalazła się dobra dusza to byłbym wdzięczny. Jak by co będę czekał teraz dosyć długo tutaj na forum i pod gg i skype bo i tak muszę się uczyć. Ew. prosiłbym o jakieś linki jeśli są gdzieś "instrukcje" do rozwiązywania takich zadań. Pozdrawiam!-- 23 sty 2010, o 23:47 --hej, doszedłem już jak zrobić drugie, także wciąż myślę nad 1 i 3.

[BettyBoo]

3) znajdź wartości własne macierzy, a potem znajdź odpowiadające im wektory własne:

Wartości własne są rozwiązaniami równania \(\displaystyle{ det(A-\lambda I)=0}\), gdzie \(\displaystyle{ I}\) oznacza macierz jednostkową odpowiedniego wymiaru, a wektory własne związanie z wartością własną \(\displaystyle{ \lambda_i}\) są rozwiązaniami układu równań \(\displaystyle{ (A-\lambda_iI)X=0}\).

O ile uda się wykonać punkt a) zadania, to macierz przekształcenia z punktu b) będzie macierzą diagonalną, w której na przekątnej stoją wartości własne w odpowiedniej kolejności (kolejność jest taka, jak kolejność wektorów bazowych, które im odpowiadają).

1) najpierw znajdź macierz tego przekształcenia w dogodnie wybranej bazie (jasne, jaka będzie najbardziej dogodna?), a potem skorzystaj ze wzoru na zmianę macierzy przy zmianie bazy (chyba, że wolisz szukać tego wzoru rozwiązując zadanie geometrycznie).

Pozdrawiam.

[derobert]

no tak, po malutku do wszystkiego doszedłem, dziękuję Ci za pomoc!