podprzetrzeń wektorowa

[billythekid]

Witam, czy ktoś mógłby mi wytłumaczyć dlaczego ten zbiór W nie jest podprzetrzenią wektorową:

\(\displaystyle{ W=[(xy,y,x,0): x,y \in R]}\)

Robię to tak że dodaję do siebie dwa wektory pomnożone przez \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) w wyniku czego otrzymuję taki wektor \(\displaystyle{ (\alpha x _{1} y _{1} + \beta x _{2} y _{2}, \alpha y _{1} + \beta y _{2} ,\alpha x _{1} + \beta x _{2} ,0)}\)
i wydaje mi się że ten wektor należy do zbioru W.

PS. nie napisałem że w odpowiedziach jest napisane że ten zbiór nie jest podprzestrzenią przestrzeni \(\displaystyle{ V=R ^{4}}\)

[BettyBoo]

Żeby ten element należał do W, to musiałbyś na pierwszej współrzędnej tego wektora mieć

\(\displaystyle{ (\alpha y _{1} + \beta y _{2})(\alpha x _{1} + \beta x _{2})}\)

a masz

\(\displaystyle{ \alpha x _{1} y _{1} + \beta x _{2} y _{2}}\)

To w ogólności są różne liczby.

Pozdrawiam.

[billythekid]

O ja głupi, no tak. Dziękuje bardzo;)-- 25 sty 2010, o 10:17 --Z góry przepraszam za double post ale nie chciałem nowego wątku zakładać.

Teraz tylko chciałem rozwiać swoją niepewność. Otóż mam taki zbiór \(\displaystyle{ W=[(x,y,z,t): 2 \left|x \right| =3 \left| y\right| ]}\)
I dochozę do wniosku iż ten zbiór nie jest podprzestrzenia przestrzenie \(\displaystyle{ V=R ^{4}}\) gdyż:

1. Zapisuję \(\displaystyle{ 2 \left|x \right| =3 \left| y\right|}\) z wykożystaniem jakiś dwóch dowolnych wektorów należących do W:
\(\displaystyle{ 2 \left|\alpha x _{1} + \beta x _{2} \right|=3 \left|\alpha y _{1} + \beta y _{2} \right|

L=2 \left|\alpha x _{1} + \beta x _{2} \right| \neq 2 \left|\alpha x_{1} \right|+ 2 \left|\beta x_{2} \right|}\)
Wiec nie uda mi się dojść do strony prawej. Czy rozumuję dobrze?

pozdrawiam