Mamy taka macierz Un = \(\displaystyle{ \begin{vmatrix} a1&1&0&..&0&0\\-1&a2&1&..&0&0\\0&-1&a3&..&0&0\\..&..&..&..&..&..\\0&0&0&..&an-1&1\\0&0&0&..&-1&an\end{vmatrix}}\)
i takie zadanie wykaż ze un= an * un-1 + un-2 / gdzie te n to takie małe indeksy ssory nie umiem dobrze latexa obsługiwać.
Więc tak korzystam z indukcji matematycznej w dodatku z mocnej wersji.
Nasz wzór będzie zachodził dla n>=3 więc liczę ile to U1 i U2
wyznaczam te macierze i detU1 = A1 a detU2 = A1*A2 +1 no i zaczynamy
Krok 1
Sprawdzamy dla U3.
U3 = \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a1&1&0\\-1&a2&1\\0&-1&a3\end{bmatrix}}\)
Z wzorów Sarusa detU3 = A3*A1*A2 + A3 + A1
L = A3*A1*A2 +A3 + A1
P = A3 * U2 + u1 = A3 *(A1A2 +1 ) +A1 = A1A2A3 +A3 + A1
ok L=P
Krok 2 Wskażmy dowolna liczbe neN i załużmy ze "dla kazdego" k e {3,n} , uk= ak*uk-1 + uk-2 gdzie
1 <= k <= n i pokażemy, że dla n+1 zachodzi Un+1 = An+1 * Un +Un-1
no i tu się zatrzymałem, trzeba jakoś rozwinięcie Laplace, wykorzystać pomoże ktoś ?