Własności macierzy kwadratowej.

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
ta_niedobra
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 23 sty 2010, o 14:09
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa

Własności macierzy kwadratowej.

Post autor: ta_niedobra »

Witam, byłabym niezmiernie wdzięczna gdyby ktoś mniej więcej ogarnął wzrokiem, jakie informacje na ten temat zebrałam i ewentualnie zasugerował co można jeszcze dodać, bowiem jest to mój temat na egzamin ustny (;

Za wszelkie sugestie będę wdzięczna.
Definicja
Macierz nazywamy kwadratową, gdy ma tyle samo wierszy, co kolumn, czyli . Zamiast „macierz kwadratowa o wierszach i kolumnach” mówi się „macierz kwadratowa stopnia ”.

Na macierzy kwadratowej przeprowadzamy takie same działania, jak na macierzy prostokątnej, tzn: dodajemy, odejmujemy i mnożymy.

Działaniem określonym wyłącznie dla macierzy kwadratowych jest potęgowanie.

Potęgowanie macierzy to działanie, które przyporządkowuje macierzy kwadratowej A i liczbie całkowitej dodatniej N macierz B powstałą poprzez (N-1)-krotne pomnożenie macierzy A przez siebie. Mówiąc prościej mnożymy daną macierz przez samą siebie , a ilokrotnie, to już zależy od potęgi.


Możliwe jest również potęgowanie za pomocą diagonalizacji – wymaga to podniesienia macierzy diagonalnej (czyli takiej, w której wszystkie elementy oprócz leżących na przekątnej
głównej są równe zero ) do n-tej potęgi. Trzeba natomiast pamiętać, że jeżeli macierz A ma współczynniki całkowite, to macierz diagonalna nie musi zachować tej właściwości, co może spowodować błędy zaokrągleń, dlatego jest to metoda mniej ogólna.

Szczególnym przypadkiem macierzy diagonalnej jest macierz jednostkowa (również kwadratowa), czyli taka która na głównej przekątnej posiada same jedynki, natomiast reszta wypełniona jest 0. Macierz jednostkową oznaczamy symbolem I.

Wyznacznik macierzy kwadratowej - Wyznacznikiem macierzy kwadratowej
nazywamy funkcję, która każdej macierzy A = [aij ] przypisuje liczbę det A.

Reguła obliczania wyznacznika stopnia drugiego

detA | a11 a12| = a11 * a22 – a12 * a 21
|a21 a22|

Regułę Sarrusa stosujemy dla wyznaczników stopnia trzeciego


| a11 a12 a13 |
Det |A21 a22 a23 | = (a11*a22*a33 + a21*a32*a13 + a31 * a12 * a23) – (a13*a22*
|A31 a32 a33 | a31 + a23*a32*a11 + a33*a12*a21)
-------------------
A11 a12 a13
A21 a22 a23

Wyznacznik macierzy kwadratowej możemy obliczać stosując rozwinięcie względem dowolnego wiersza (dowolnej kolumny), jest to tzw. Metoda Laplace’a.


Własności wyznaczników macierzy kwadratowej:
1. Wyznacznik macierzy kwadratowej mającej kolumnę (wiersz) złożoną z samych zer jest równy 0.
2. Wyznacznik macierzy kwadratowej zmieni znak, jeżeli przestawimy między sobą dwie (dwa) kolumny (wiersze).
3. Wyznacznik macierzy kwadratowej mającej dwie (dwa) jednakowe lub proporcjonalne kolumny (wiersze) jest równy 0.
4. Jeżeli wszystkie elementy pewnej kolumny (pewnego wiersza) macierzy kwadratowej zawierają wspólny czynnik, to czynnik ten można wyłączyć przed wyznacznik tej macierzy.
5. Wyznaczniki macierzy kwadratowej i jej transpozycji są równe.

Crizz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Własności macierzy kwadratowej.

Post autor: Crizz »

Możesz dodać np to, że macierz jednostkowa stopnia n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy stopnia n, tzn \(\displaystyle{ AI=IA=A}\). Być może wypadałoby też powiedzieć coś o macierzach osobliwych, nieosobliwych i o macierzy odwrotnej.
ODPOWIEDZ