Przestrzenie, generatory i bazy.

[uz102tdz]

Witam. Przyszedł czas kiedy zaległości się nagromadziły i poległem pod ich naporem. Mam tutaj 'kilka' zadań do zrobienia. Nie proszę o rozwiązanie ich mi (chociaż nie obraziłbym się, gdyby ktoś to zrobił), ale o łopatologiczne wytłumaczenie ich, na przykładzie, któregoś z podpunktu, tak abym resztę mógł sam zrobić. Proszę o pomoc.

L-6
1. Sprawdź czy podany zbiór W jest podprzestrzenią liniową przestrzeni V.
a) \(\displaystyle{ W={(2x-y, y+z) \in \mathbb{R}^{2}:x, y, z \in \mathbb{R}}, V=\mathbb{R}^{2}}\)

5. Zbadaj z definicji liniową niezależność podanych układów wektorów w odpowiednich przestrzeniach
liniowych:
a) \(\displaystyle{ (1, 4), (1, 1), (5, 6)}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{2}}\)
b) \(\displaystyle{ (1,-2, 3), (1, 0, 1), (0, 2,}\)-1\(\displaystyle{ )}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{3}}\)

L-7
1. Wyznaczyć generatory następujących przestrzeni liniowych:
a) \(\displaystyle{ V = {(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} : 4x-y+2z = 0 }}\)
b) \(\displaystyle{ V = {(2x+y-z, z-u, x+3y+u, y+u, z-u }}\)
c) \(\displaystyle{ V = {(x, y, z, t \in \mathbb{R}^{4} : x-y=y-z=z-t) }}\)

2.Sprawdzić z definicji, czy podane zbiory wektorów są bazami
wskazanych przestrzeni liniowych:
a) \(\displaystyle{ B = {(2,5), (3,1), (6,-7) }}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{3}}\)
b) \(\displaystyle{ B = {(2,3,-1), (1,-3,2) }}\)w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{3}}\)
c) \(\displaystyle{ B = {(1,-1,4), (3,0,1), (2,1,-2) }}\)w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{3}}\)

3. Wektory u, v, w tworzą bazę przestrzeni liniowej V. Zbadać z
definicji, czy podane zbiory wektorów też są bazami przestrzeni V:
a) \(\displaystyle{ u-2v+w, 3u+w, u+4v-w}\)
b) \(\displaystyle{ u, 2u+v, 3u-v+4w}\)

4. Wskazać bazy i określić wymiary podanych przestrzeni liniowych:
a) \(\displaystyle{ V = {(x + y + z, x-y, x-z, y-z) : x, y, z \in R }}\)
b) \(\displaystyle{ V = {(x + 2y + z,3x-y + 2z,5x + 3y + 4z) : x, y, z \in R }}\)
c) \(\displaystyle{ V = {(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} : 2x}\)-[/latex] y = z -t = 0 }[/latex]

5. Znaleźć z definicji współrzędne podanych wektorów we
wskazanych bazach odpowiednich przestrzeni liniowych:
a) \(\displaystyle{ \vec{v} = (1,4) \in \mathbb{R}^{2}
\\B = {(1,5), (1,6) }}\)
b) \(\displaystyle{ \vec{v} = (8,1,7,5) \in \mathbb{R}^{4}
\\B = {(1,0,0,0), (1,1,0,0), (1,1,1,0), (1,1,1,1) }}\)

[hurdler]

L-6
1
a) Musisz sprawdzić, czy warunki na bycie podprzestrzenią są spełnione, tzn
\(\displaystyle{ \forall w_1, w_2 \in W \ \ w_1+w_2 \in W
\forall w \in W a \ in \mathbb{R} \ \ a\cdot w\in W}\)

5
Sposób 1.
Rozpisujesz odpowiedni układ równań \(\displaystyle{ x_1\cdot(1, 4)+x_2\cdot(1, 1)+x_3\cdot(5, 6)=\vec{0}}\)
Wrzucasz to do macierzy i obliczasz współczynniki
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&1&5&0\\4&1&6&0\end{array}\right]}\)
Sprowadzasz do postaci schodkowej zredukowanej i wyliczasz współczynniki.
Jeśli współczynniki wyjdą zero to znaczy, że są liniowo niezależne, jeśli któryś wyjdzie niezerowy, to znaczy, że są liniowo zależne. (W tym przypadku wyjdą liniowo zależne, bo maksymalny układ l.n.z w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) składa się z dwóch wektorów )
Sposób 2.
Wrzucasz wektory do wierszy macierzy. Sprowadzasz do postaci schodkowej, jeśli otrzymasz wiersz zerowy to znaczy, że wektory są liniowo zależne.
(Jeśli sprawdzaliście czy przekształcenie które zadane jest przez macierz jest różnowartościowe to zobaczysz analogie w poprzedniej macierzy (kolumny mają być l.n.z))

L-7
2
Do bazy\(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) potrzeba 3 wekorow liniowo niezaleznych nalezacych do tej przestrzeni
a)wektory nie sa w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) tylko \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\)
b)potrzeba 3 wektorów po dim\(\displaystyle{ \mathbb{R}^3 = 3}\)
c)sprawdź czy są liniowo niezależne jak w zad 5

3 Znowu musisz sprawdzić czy któreś z tych wektorów "nowych" jest kombinacją liniową pozostałych.
masz układ równań
\(\displaystyle{ x_1\cdot(u-2v+w) x_2\cdot (3u+w)+x_3(u+4v-w)=0}\)

5
Współrzędne wektora (1,4) w bazie (1,5), (1,6) to taki ciąg skalarów (a,b), że jak weźmiesz te wektory i pomnożysz je przez odpowiednie skalary to wyjdzie Ci wektor (1,4). tzn:
\(\displaystyle{ a\cdot (1,5) + b \cdot (1,6) = 1,4}\)
Tak jak wcześniej masz układ równań i wrzucasz go najlepiej do macierzy, bo:
\(\displaystyle{ a\cdot (1,5) + b \cdot (1,6) = (1,4) \ \Rightarrow \\ \begin{cases}a\cdot 1+ b\cdot 1= 1\\a\cdot 5+ b\cdot 6= 4 \end{cases}}\)
2 równania 2 niewiadome, jakoś sobie poradzisz.
W następnym podpunkcie tak samo.

[nawi]

Bardzo bym prosił o podobną podpowiedź do zadania L-7.