przekształcenie liniowe.

[madaf007]

Niech \(\displaystyle{ T:\mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^3}\) spełnia warunki:
\(\displaystyle{ T([x_1,x_2,x_3,x_4])=[4x_1+x_2-2x_3-3x_4,2x_1+x_2-4x_4,6x_1-9x_3+9x_4]}\)
a) Które z wektorów [0,0,6],[1,3,0],[2,4,1] należą do obrazu przeksztalcenia liniowego T?
b) Które z wektorów [3,-8,2,0],[0,0,0,1],[0,-4,1,0] należą do jądra przekształcenia liniowego T?
c)wyznacz obraz i jądro przekształcenia T.

Obraz wyszedł mi \(\displaystyle{ ImT=span\{(4,2,6),(1,1,0),(-2,1,-9),(-3,-4,9)\}}\)
a jądro wynosi \(\displaystyle{ KerT=span\{(\frac{3}{2},-6,1,0),(-\frac{1}{2},2,0,1)\}}\)

I przez to powiedziałbym, że żadne z tych wektorów nie należą do obrazu, ani do jądra, ale zapewne się mylę. Proszę o naprowadzenie

[BettyBoo]

Obraz OK oczywiście, ale dla rozwiązania zadania radzę znaleźć bazę w obrazie (będzie łatwiej). Potem trzeba sprawdzić, który z podanych wektorów jest kombinacja liniową wektorów bazowych obrazu.

Ponieważ rząd macierzy przekształcenia jest równy 3, to de facto \(\displaystyle{ ImT=\mathbb{R}^3}\), więc każdy wektor tam należy.

W jądrze się pomyliłeś. Powinno wyjść np \(\displaystyle{ x_1=3t,\ x_2=2t,\ x_3=4t,\ x_4=2t,\ t\in\mathbb{R}}\) (o ile ja się nie pomyliłam, ale na pewno jest jeden wektor, co wynika z równości wymiarów )

Pozdrawiam.