Równania macierzowe

[Kipcio]

mam problem- ominąłem kilka wykładów i w ogóle nie mam pomysłu jak się zabrać za równania typu

\(\displaystyle{ AX - B = X}\)

jakie definicje powinienem sobie poczytać?
można po prostu przerzucić B i X na drugą stronę (wyjdzie \(\displaystyle{ B^{-1} i X^{-1}}\)), wyłączyć A przed nawias i mnożyć ? czy to złe podejście

[BettyBoo]

Wystarczy znać własności działań na macierzach - wtedy będziesz wiedział, co wolno a co nie

\(\displaystyle{ AX - B = X\ \Rightarrow \ AX-X=B\ \Rightarrow \ AX-EX=B\ \Rightarrow \ (A-E)X=B}\)

gdzie \(\displaystyle{ E}\) jest macierzą jednostkową odpowiedniego wymiaru.

Jeśli macierz \(\displaystyle{ A-E}\) jest odwracalna, to

\(\displaystyle{ X=(A-E)^{-1}B}\)

jeśli nie, to ustalasz wymiar macierzy X, zapisujesz ją za pomocą elementów, wykonujesz działania i powstaje Ci do rozwiązania układ równań.

Pozdrawiam.

[Kipcio]

a czy w równaniu
\(\displaystyle{ AXB + 2AX = C}\)

mogę sobie po prostu wyłączyć X przed nawias?

wg. mnie rozwiązanie będzie wyglądało tak:

\(\displaystyle{ X(A*B+2A) = C \Rightarrow X = C* (A*B+2A)^{-1}}\)

dobrze kombinuję?

[BettyBoo]

Bardzo dobrze, siadaj, dwa

Zapamiętaj sobie na wieki wieków - mnożenie macierzy nie jest przemienne !

A więc - źle kombinujesz...pokombinuj jeszcze raz.

Pozdrawiam.

[Kipcio]

PaniDaTrzy!

proszę, olśnij mnie, bo już nie mam siły.
wiem już, że mnożenie macierzy nie jest przemienne, ale nadal nie wiem na jakiej zasadzie można przerzucać elementy z 1 strony równania na 2.

od czego zależy czy wychodzi

\(\displaystyle{ X = C* (A*B+2A)^{-1}}\) czy \(\displaystyle{ X = (A*B+2A)^{-1}*C}\)

[BettyBoo]

Dodawanie i mnożenie przez stałą dla macierzy ma podobne własności jak dla liczb, ale mnożenie nie. Zatem ważne jest, z której strony mnożysz macierze, na ogół \(\displaystyle{ AB\neq BA}\). Dzielenia wobec tego nie ma w ogóle (bo ono wymaga przemienności), jest za to mnożenie przez macierz odwrotną (też ważne, z której strony i nie zawsze te odwrotne istnieją).

\(\displaystyle{ AXB + 2AX = C\ \Rightarrow \ AX(B+2E)=C}\)

I teraz, jeśli istnieją odpowiednie macierze odwrotne, to możemy pomnożyć równanie z lewej przez macierz odwrotną do \(\displaystyle{ A}\), a z prawej przez macierz odwrotną do \(\displaystyle{ B+2E}\) i mamy

\(\displaystyle{ \ \Rightarrow \ X=A^{-1}C(B+2E)^{-1}}\)

Pozdrawiam.