Matematyka.pl

Witam!

Mam taki oto ogromny układ równań i chce obliczyć wartości wszystkich sinusów i cosinusów. Dla ułatwienia dodam że wartości są typowe... czyli takie jakie są dla typowych kątów 30, 45, 90, itd... Wyliczyłem już że sin(a2)sin(a3)=0, zaś cos(a2)*cos(a3)=0,5... Ale nic dalej nie potrafię z tym zrobić. Pomoże ktoś?


\(\displaystyle{ -sin(a1)= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

\(\displaystyle{ cos(a1)=-\frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

\(\displaystyle{ cos(a2)cos(a3)-sin(a2)sin(a3)=\frac{ 1 }{2}}\)

\(\displaystyle{ -cos(a2)sin(a3)-sin(a2)cos(a3)=\frac{ \sqrt{3} }{2}}\)

\(\displaystyle{ cos(a1)sin(a2)cos(a3)+cos(a1)cos(a2)sin(a3)=\frac{ \sqrt{6} }{4}}\)

\(\displaystyle{ -cos(a1)sin(a2)sin(a3)+cos(a1)cos(a2)cos(a3)=-\frac{ \sqrt{2} }{4}}\)

\(\displaystyle{ sin(a1)sin(a2)cos(a3)+sin(a1)cos(a2)sin(a3)=\frac{ \sqrt{6} }{4}}\)

\(\displaystyle{ -sin(a1)sin(a2)sin(a3)+sin(a1)cos(a2)cos(a3)=-\frac{ \sqrt{2} }{4}}\)

Dużo by pomogło, gdybyś sobie przypomniał wzory na sinusy i cosinusy sumy i różnicy kątów i z nich skorzystał

Pozdrawiam.

Niestety za wiele mi to nie daje.

Wyliczyłem że

\(\displaystyle{ sin(a2+a3)= \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)

\(\displaystyle{ cos(a2+a3)= \frac{ 1 }{2}}\)

I dalej jestem w kropce.

No to z tego wniosek, że \(\displaystyle{ (a2+a3)=\frac{\pi}{3}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}}\), prawda?

I liczysz dalej.

Pozdrawiam.

To że suma tych dwóch kątów jest tyle równa to ja wiem...

Ale dalej już nie wiem co mam policzyć bo nic się nie da...

Jak się nie da to się nie da. W takim układzie wiesz ile wynosi \(\displaystyle{ a1}\) oraz masz zależność między \(\displaystyle{ a2, a3}\) i tyle.

Tak dokładniej, to wychodzi \(\displaystyle{ sin(a2+a3)= -\frac{ \sqrt{3} }{2}, cos(a2+a3)= \frac{ 1 }{2}}\)
więc \(\displaystyle{ a2+a3=-\frac{\pi}{3}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}}\)



Jeśli powinny Ci wyjść jakieś bardziej konkretne wartości kątów to sprawdź, czy masz poprawny układ równań.

Pozdrawiam.

Czyli mam rozumieć że nie da się policzyć a2 i a3?
To chyba nie możliwe... musi się jakoś dać policzyć bo ten układ powstał z wymnożenia trzech macierzy obrotu. Sam je wymnożyłem więc i w drugą stronę też powinno się dać znaleźć te kąty...

a powinny one wyjść:
a1=225
a2=120
a3=180
w stopniach...

O jakie obroty chodzi? Zapisz macierze, to zobaczymy w czym rzecz.

Pozdrawiam.

Dobrze wymnożyłem bo to właściwie nie ja tylko matlab.

Pomnożyłem 3 macierze obrotu wokół osi raz wokół osi x i 2 razy wokół z: R(x, a1)*R(z,a2)*R(z,a3)
Mnożyłem w matlabie przed chwilą i wyszło tak samo.

Zresztą wystarczy podstawić te kąty co podałem do równań i wszystko się zgadza... także równania na 100% są poprawne.

No wiesz....jeśli obracasz dwa razy pod rząd wokół osi \(\displaystyle{ OX}\) to nie dziw się, że nie jesteś w stanie odzyskać kątów - one się po prostu sumują...

Pozdrawiam.

Wiedziałem że rozwiązanie tego problemu jest banalne!

Dzięki.