Wartosci i wektory własne

[master940]

Mam wyznaczyć wektory i wartości własne dla:

\(\displaystyle{ A= \left[\begin{array}{ccc}2&0&0\\0&-5&-8\\0&2&5\end{array}\right]}\)
a następnie policzyć \(\displaystyle{ A^{100}}\)

Na początek liczymy \(\displaystyle{ det(A − \lambda I)=0}\). Po wyznaczeniu wartości \(\displaystyle{ \lambda}\) a następnie liczy się \(\displaystyle{ V_{\lambda}= \lbrace X : (A- \lambda I)X=0 \rbrace}\)
Moje pytanie jak się liczy to: \(\displaystyle{ V_{\lambda}= \lbrace X : (A- \lambda I)X=0 \rbrace}\)
Dla tej macierzy \(\displaystyle{ \lambda = 2 \vee \lambda = 3 \vee \lambda = -3}\)
Proszę o rozwiązanie następnego "kroku".

[abc666]

Dla \(\displaystyle{ \lambda = 2}\) mamy
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2-2&0&0\\0&-5-2&-8\\0&2&5-2\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}x\\y\\z\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}0\\0\\0\end{array}\right]}\)
No i rozwiązujesz układ.
mamy
pierwsze się redukuje
\(\displaystyle{ -7y-8z=0 \\
2y+3z=0}\)
czyli \(\displaystyle{ y=z=0}\) więc rozwiązanie ogólne ma postać
\(\displaystyle{ (x,0,0)}\)
x, dobierasz tak żeby się łatwo liczyło czyli np. 1
\(\displaystyle{ (1,0,0)}\) - wektor własny dla \(\displaystyle{ \lambda = 2}\)
postępujesz podobnie z pozostałymi

[master940]

Dla \(\displaystyle{ \lambda = -3}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2+3&0&0\\0&-5+3&-8\\0&2&5+3\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}x\\y\\z\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}0\\0\\0\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ 5x=0 \\ -2y-8z=0 \\ 2y+8z=0 \Rightarrow x=0, y=0, z=0}\)
Tak? Jak byś mógł to dokończ zadanie bo coś chyba źle zrozumiałem.

[abc666]

Po prostu trochę źle policzyłeś ;p
\(\displaystyle{ 2y+8z=0}\)
to z tego wcale nie wynika, że się wszystko zeruje, tylko że
\(\displaystyle{ y=-4z}\)
a z tego mamy
\(\displaystyle{ (0,-4z,z)}\) gdzie \(\displaystyle{ z \neq 0}\) (aha, zapomniałem dodać że wektor zerowy nic nie daje nam)

[master940]

a dla \(\displaystyle{ \lambda= -3}\) jak to będzie? a co mam podstawić za\(\displaystyle{ z}\)?

dla \(\displaystyle{ \lambda= 3}\) :

\(\displaystyle{ 5x=0 \\-8y-8z=0 \\ 2y+2z=0}\)
czyli
\(\displaystyle{ -8y=8z}\) to daje \(\displaystyle{ -y=z \Rightarrow (0,y,-y)}\) ?
czyli można to tak zapisać(?):
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&-4&1\\0&1&-1\end{array}\right]}\) ?

a \(\displaystyle{ D=\left[\begin{array}{ccc}2&0&0\\0&-3&0\\0&1&3\end{array}\right]}\) ?-- 18 sty 2010, o 20:34 --a sory pomyłka:
\(\displaystyle{ D=\left[\begin{array}{ccc}2&0&0\\0&-3&0\\0&0&3\end{array}\right]}\)
czy teraz jest ok?

[abc666]

No tak, \(\displaystyle{ D}\) jest ok, ale to nie koniec, bo

\(\displaystyle{ A \neq D}\)

\(\displaystyle{ A=PDP^{-1}}\)
gdzie \(\displaystyle{ P}\) to macierz z kolumnami złożonymi z wektorów własnych, w takiej kolejności w jakiej wpisałeś wartości własne do macierzy, a \(\displaystyle{ P^{-1}}\) to macierz do niej odwrotna.

p.s. nie wiem jakie masz oznaczenia