Podprzestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
billythekid
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 8 mar 2009, o 21:59
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2 razy

Podprzestrzenie wektorowe

Post autor: billythekid »

Witam mam sprawdzić czy W jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni wektorowej V.

\(\displaystyle{ V=(R ^{3},+,R, \cdot )}\)

\(\displaystyle{ W={(x,y,z): x=-y}}\)

na końcu dochodzę do czegoś takiego:

\(\displaystyle{ \alpha (x _{1} +y_{1}) + \beta (x _{2} +y _{2} )=0}\)

I jaki wniosek z tego wysnuć? Albo może źle to zrobiłem?

pozdrawiam
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Podprzestrzenie wektorowe

Post autor: BettyBoo »

A skąd takie coś dostałeś?

Postać wektorów z \(\displaystyle{ W}\) masz. Najpierw wypada zauważyć, że to ma sens (tzn, że \(\displaystyle{ W}\) jest niepustym podzbiorem \(\displaystyle{ V}\)). Wystarczy teraz sprawdzić, czy dowolna kombinacja liniowa dwóch wektorów z \(\displaystyle{ W}\) należy znowu do \(\displaystyle{ W}\).

Pozdrawiam.
billythekid
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 8 mar 2009, o 21:59
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2 razy

Podprzestrzenie wektorowe

Post autor: billythekid »

To może ja napiszę jak ja to robiłem:)

Najpierw warunki
\(\displaystyle{ \alpha , \beta \in R \wedge W _{1} , W _{2} \in W}\)

\(\displaystyle{ \alpha W _{1} + \beta W _{2} \in W ?}\)

\(\displaystyle{ \alpha W _{1} + \beta W _{2} = (\alpha x _{1} + \beta x_{2} , \alpha y _{1} + \beta y _{2} , \alpha z _{1} + \beta z _{2} )}\) i teraz zapisuję x=-y i sprawdzam czy to prawda i wychodzi mi to co już napisałem w 1st postcie.

Czy ktoś mógłby mi to wyjaśnić?:)

EDIT: chyba na to wpadłem:) Bo jeżeli x=-y to x+y=0 więc
\(\displaystyle{ \alpha (x _{1} +y_{1}) + \beta (x _{2} +y _{2} )=\alpha (0) + \beta (0)=0}\)
i teraz wniosek jest jaki?:P

Że jest podprzestrzenią bo wektor zerowy zawiera się w W?

pozdrawiam:)
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Podprzestrzenie wektorowe

Post autor: BettyBoo »

Pomieszałeś definicję z warunkami

Najprościej, żeby nie mieć problemu z interpretacją wyniku, zapisać sobie ogólną postać wektorów z \(\displaystyle{ W}\). Warunek oznacza, że dowolny wektor z \(\displaystyle{ W}\) ma postać \(\displaystyle{ (-y,y,z)}\). Weźmy teraz dwa takie i sprawdźmy, czy liniowa kombinacja też ma taką postać:

\(\displaystyle{ \alpha(-a,a,b)+\beta(-c,c,d)=(-(\alpha a+\beta c), (\alpha a+\beta c), d+b)}\)

Ponieważ wszystkie występujące tu liczby są rzeczywiste, to w otrzymanym wektorze masz znowu współrzędne rzeczywiste, które mają odpowiednią postać. Zatem kombinacja liniowa wektorów z W znowu jest wektorem z W. W takim razie W jest podprzestrzenią V.

Pozdrawiam.
ODPOWIEDZ