Witam mam sprawdzić czy W jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni wektorowej V.
\(\displaystyle{ V=(R ^{3},+,R, \cdot )}\)
\(\displaystyle{ W={(x,y,z): x=-y}}\)
na końcu dochodzę do czegoś takiego:
\(\displaystyle{ \alpha (x _{1} +y_{1}) + \beta (x _{2} +y _{2} )=0}\)
I jaki wniosek z tego wysnuć? Albo może źle to zrobiłem?
pozdrawiam
Podprzestrzenie wektorowe
-
- Użytkownik
- Posty: 28
- Rejestracja: 8 mar 2009, o 21:59
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 2 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Podprzestrzenie wektorowe
A skąd takie coś dostałeś?
Postać wektorów z \(\displaystyle{ W}\) masz. Najpierw wypada zauważyć, że to ma sens (tzn, że \(\displaystyle{ W}\) jest niepustym podzbiorem \(\displaystyle{ V}\)). Wystarczy teraz sprawdzić, czy dowolna kombinacja liniowa dwóch wektorów z \(\displaystyle{ W}\) należy znowu do \(\displaystyle{ W}\).
Pozdrawiam.
Postać wektorów z \(\displaystyle{ W}\) masz. Najpierw wypada zauważyć, że to ma sens (tzn, że \(\displaystyle{ W}\) jest niepustym podzbiorem \(\displaystyle{ V}\)). Wystarczy teraz sprawdzić, czy dowolna kombinacja liniowa dwóch wektorów z \(\displaystyle{ W}\) należy znowu do \(\displaystyle{ W}\).
Pozdrawiam.
-
- Użytkownik
- Posty: 28
- Rejestracja: 8 mar 2009, o 21:59
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 2 razy
Podprzestrzenie wektorowe
To może ja napiszę jak ja to robiłem:)
Najpierw warunki
\(\displaystyle{ \alpha , \beta \in R \wedge W _{1} , W _{2} \in W}\)
\(\displaystyle{ \alpha W _{1} + \beta W _{2} \in W ?}\)
\(\displaystyle{ \alpha W _{1} + \beta W _{2} = (\alpha x _{1} + \beta x_{2} , \alpha y _{1} + \beta y _{2} , \alpha z _{1} + \beta z _{2} )}\) i teraz zapisuję x=-y i sprawdzam czy to prawda i wychodzi mi to co już napisałem w 1st postcie.
Czy ktoś mógłby mi to wyjaśnić?:)
EDIT: chyba na to wpadłem:) Bo jeżeli x=-y to x+y=0 więc
\(\displaystyle{ \alpha (x _{1} +y_{1}) + \beta (x _{2} +y _{2} )=\alpha (0) + \beta (0)=0}\)
i teraz wniosek jest jaki?:P
Że jest podprzestrzenią bo wektor zerowy zawiera się w W?
pozdrawiam:)
Najpierw warunki
\(\displaystyle{ \alpha , \beta \in R \wedge W _{1} , W _{2} \in W}\)
\(\displaystyle{ \alpha W _{1} + \beta W _{2} \in W ?}\)
\(\displaystyle{ \alpha W _{1} + \beta W _{2} = (\alpha x _{1} + \beta x_{2} , \alpha y _{1} + \beta y _{2} , \alpha z _{1} + \beta z _{2} )}\) i teraz zapisuję x=-y i sprawdzam czy to prawda i wychodzi mi to co już napisałem w 1st postcie.
Czy ktoś mógłby mi to wyjaśnić?:)
EDIT: chyba na to wpadłem:) Bo jeżeli x=-y to x+y=0 więc
\(\displaystyle{ \alpha (x _{1} +y_{1}) + \beta (x _{2} +y _{2} )=\alpha (0) + \beta (0)=0}\)
i teraz wniosek jest jaki?:P
Że jest podprzestrzenią bo wektor zerowy zawiera się w W?
pozdrawiam:)
-
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Podprzestrzenie wektorowe
Pomieszałeś definicję z warunkami
Najprościej, żeby nie mieć problemu z interpretacją wyniku, zapisać sobie ogólną postać wektorów z \(\displaystyle{ W}\). Warunek oznacza, że dowolny wektor z \(\displaystyle{ W}\) ma postać \(\displaystyle{ (-y,y,z)}\). Weźmy teraz dwa takie i sprawdźmy, czy liniowa kombinacja też ma taką postać:
\(\displaystyle{ \alpha(-a,a,b)+\beta(-c,c,d)=(-(\alpha a+\beta c), (\alpha a+\beta c), d+b)}\)
Ponieważ wszystkie występujące tu liczby są rzeczywiste, to w otrzymanym wektorze masz znowu współrzędne rzeczywiste, które mają odpowiednią postać. Zatem kombinacja liniowa wektorów z W znowu jest wektorem z W. W takim razie W jest podprzestrzenią V.
Pozdrawiam.
Najprościej, żeby nie mieć problemu z interpretacją wyniku, zapisać sobie ogólną postać wektorów z \(\displaystyle{ W}\). Warunek oznacza, że dowolny wektor z \(\displaystyle{ W}\) ma postać \(\displaystyle{ (-y,y,z)}\). Weźmy teraz dwa takie i sprawdźmy, czy liniowa kombinacja też ma taką postać:
\(\displaystyle{ \alpha(-a,a,b)+\beta(-c,c,d)=(-(\alpha a+\beta c), (\alpha a+\beta c), d+b)}\)
Ponieważ wszystkie występujące tu liczby są rzeczywiste, to w otrzymanym wektorze masz znowu współrzędne rzeczywiste, które mają odpowiednią postać. Zatem kombinacja liniowa wektorów z W znowu jest wektorem z W. W takim razie W jest podprzestrzenią V.
Pozdrawiam.