Baza części wspólnej dwóch podprzestrzeni wektorowych

[kamillys]

Mam bazę pp.\(\displaystyle{ U=\begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}}\)
oraz bazę \(\displaystyle{ W=\begin{bmatrix} 0&1&2\\0&1&1\\0&0&2\\1&2&3\end{bmatrix}}\)
(obie po uproszczeniu w U|W). Wymiary p. U i W są równe 3, wymiar sumy równy 4(dla mnie tu zrozumiałe). Jednakże problem jest z bazą części wspólnej. Wymiar jej jest równy 2(z tw. o wymiarze). I jak z tamtąd bazę \(\displaystyle{ U \cap W}\) wyciągnąć? Baza sumy to po wektory u1, u2, u3, w1(ui- i-ta kolumna z bazy U, w - i-ta kolumna bazy W), jednak części wspólnej nie wiem jak policzyć. Jedyny pomysł to u1, u2, ale to zbyt "na pałę".

[BettyBoo]

Do części wspólnej należą wektory, które leżą i w \(\displaystyle{ U}\) i w \(\displaystyle{ W}\), a więc wektory \(\displaystyle{ x}\), które spełniają równanie

\(\displaystyle{ a_1u_+a_2u_2+a_3u_3=x=b_1w_1+b_2w_2+b_3w_3\ \Rightarrow \\ \\ a_1u_+a_2u_2+a_3u_3-b_1w_1-b_2w_2-b_3w_3=0}\)

Rozwiązujesz ten układ i masz co trzeba. Z postaci wektora \(\displaystyle{ x}\) wnioskujesz bazę.

Pozdrawiam.

[kamillys]

Wyszła mi baza \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -1&-2\\-1&-1\\0&-2\end{bmatrix}}\) która jest wierszowo równoważna z \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2\\0&1\end{bmatrix}}\), czyli (u1; 2u1+u2).

[BettyBoo]

Nie wiem, skąd Ci coś takiego wyszło (jak to obliczyłeś?). Wg mnie \(\displaystyle{ 2u_1+u_2\not\in W}\), więc coś nie-teges masz

Tutaj nie bardzo jest co rozwiązywać, bo macierz układu jest od razu w postaci normalnej, więc masz

\(\displaystyle{ a_1=b_2+2b_3,\ a_2=b_2+b_3,\ a_3=2b_3\ \Rightarrow \\ \\ x=a_1u_1+a_2u_2+a_3u_3=b_1(1,1,0,0)+b_3(2,1,2,0)}\)

i masz przykładową bazę.

Pozdrawiam.