Wyznaczanie macierzy z równania macierzowego

[poxylina]

Mam takie zadanie:

Wyznaczyć macierz X z równania macierzowego \(\displaystyle{ C = (A^{-1} X)^{T}B + 2B}\), gdzie A, B, C są danymi macierzami nieosobliwymi st. 3. Obliczyć \(\displaystyle{ detX}\), wiedząc, że \(\displaystyle{ detA=2}\), \(\displaystyle{ detB=3}\), \(\displaystyle{ detC=4}\).

Robiąc przekształcenia doszłam do pewnego momentu, w którym nie wiedziałam co dalej robić i chciałabym, żeby ktoś rzucił na to okiem i wyłapał ew. błędy lub podał lepsze,jaśniejsze rozwiązanie, na które ja niestety nie mogę wpaść.

\(\displaystyle{ C=X^{T} * (A^{-1})^{T} * B + 2B}\)

\(\displaystyle{ detC = det[X^{T} * (A^{-1})^{T} * B + 2B]}\)

\(\displaystyle{ detC = det[(X^{T} * (A^{-1})^{T} + 2)*B]}\)

\(\displaystyle{ detC = det(X^{T} * (A^{-1})^{T} + 2) * detB}\)

\(\displaystyle{ detC * \frac{1}{detB} = det[X^{T} * (A^{-1})^{T} + 2]}\)

\(\displaystyle{ det(CB^{-1}) = det[X^{T} * (A^{-1})^{T} + 2]}\)

\(\displaystyle{ CB^{-1} = X^{T} * (A^{-1})^{T} + 2}\)

\(\displaystyle{ det(CB^{-1} - 2) = detX^{T} * det(A^{-1})^{T} / : det(A^{-1})}\)

\(\displaystyle{ detX = \frac{det(CB^{-1} - 2)}{det(A^{-1})}}\)

I co dalej?

[BettyBoo]

Trochę tu namieszałaś. Z faktu, że macierze są równe wynika, że ich wyznaczniki są równe, ale w drugą stronę to nie działa.

Wyznaczamy \(\displaystyle{ X}\) z równania korzystając z własności działań na macierzach:

\(\displaystyle{ C = (A^{-1} X)^{T}B + 2B\ \Rightarrow \ C-2B=(A^{-1} X)^{T}B\ \Rightarrow \\ \\
(C-2B)B^{-1}=(CB^{-1}-2E)=(A^{-1} X)^{T}\ \Rightarrow \ (CB^{-1}-2E)^T=A^{-1}X\ \Rightarrow \\ \\ X=A (CB^{-1}-2E)^T=A(B^{-1})^TC^T-2A}\)

Miałaś jakieś wzory pozwalające obliczyć wyznacznik sumy macierzy za pomocą wyznaczników tych macierzy?

Pozdrawiam.

[poxylina]

ok, to o tym nie wiedziałam,że nie działa to w dwie strony,dzięki ale właśnie nie mam żadnych takich wzorów, które pozwalają obliczyć wyznacznik sumy... a bez nich dalej nie da się chyba ruszyć,nie ma innego sposobu,tak?
dziekuje za pomoc

[BettyBoo]

Osobiście zie znam żadnych wzorów, które to pomagają obliczyć. Być może miał tam być iloczyn a nie suma, wtedy da się to zrobić.

Pozdrawiam.