Znaleźć bazę podprzestrzeni rozwiązań układu równań

[act]

Wyznaczyć wszystkie liczby rzeczywiste x,y,x,t, dla których:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x+4y+10z+20t=x\\-6y-20z-45t=y\\4y+15z+36t=z\\-y-4z-10t=-t \end{array}}\)

Znaleźć bazę podprzestrzeni rozwiązań tego układu równań.

Oczywiście rozwiązanie układu to nie problem. Na końcu mam macierz:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&-5& | &0\\0&1&4& | &0\end{bmatrix}}\)

Chodzi mi tylko o to, jak wyznaczyć tę bazę. Wiem, że to jest proste, ale zapomniałem jak to się robi, więc proszę o przypomnienie.

[BettyBoo]

Coś za krótka ta macierz, gdzie Ci zniknęła jedna kolumna??

Jak już masz rozwiązanie układu, to ono zależy od pewnej ilości parametrów (jeśli nie zależy od żadnego parametru, to bazy podprzestrzeni nie ma, bo ta podprzestrzeń jest wtedy zerowa). Np masz coś takiego (to co piszę poniżej nie jest rozwiązaniem Twojego zadania, to tylko przykład) :

\(\displaystyle{ (2t-q,3t+q,t,q)=t(2,3,1,0)+q(-1,1,0,1)}\)

Z tego zapisu widać przykładową bazę - stanowią ją wektory \(\displaystyle{ (2,3,1,0),(-1,1,0,1)}\)

Pozdrawiam.

[act]

\(\displaystyle{ x}\) mi zniknął, bo się zredukował w pierwszym równaniu.

Czyli ja mam:

\(\displaystyle{ y-5t=0}\), \(\displaystyle{ z+4t=0}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ (x,5t,-4t,t)=x(1,0,0,0)+t(0,5,-4,1)}\)

Czyli moja baza to \(\displaystyle{ lin([1,0,0,0],[0,5,-4,1])}\), tak?

[Nakahed90]

Bazą są same te dwa wektory.

[act]

Czyli baza to po prostu: \(\displaystyle{ [1,0,0,0],[0,5,-4,1]}\)?

Na pewno nie jest to \(\displaystyle{ lin([1,0,0,0],[0,5,-4,1])}\)?

[BettyBoo]

Baza to układ (ciąg) wektorów, a \(\displaystyle{ lin}\) to powłoka liniowa, czyli zbiór wszystkich kombinacji liniowych wektorów.

Dokładniej, to powinno być \(\displaystyle{ ([1,0,0,0],[0,5,-4,1])}\), ponieważ kolejność wektorów bazowych jest istotna - \(\displaystyle{ ([1,0,0,0],[0,5,-4,1])}\) oraz \(\displaystyle{ ([0,5,-4,1], [1,0,0,0])}\) to dwie różne bazy.

Pozdrawiam.

[act]

Może zadam głupie pytanie, ale wiem, że przy wyznaczaniu baz pewnych podprzestrzeni pisze się \(\displaystyle{ lin}\). Kiedy? Przy równaniach to są zawsze po prostu wektory, tak?

[BettyBoo]

Może zadam głupie pytanie, ale wiem, że przy wyznaczaniu baz pewnych podprzestrzeni pisze się \(\displaystyle{ lin}\). Kiedy? Przy równaniach to są zawsze po prostu wektory, tak?

Nigdy się nie pisze \(\displaystyle{ lin}\), kiedy się chce zapisać bazę.

\(\displaystyle{ lin}\) pisze się wtedy, gdy chce się określić przestrzeń generowaną przez wektory. Np możesz zapisać, że zbiór rozwiązań Twojego równania to przestrzeń \(\displaystyle{ lin([1,0,0,0],[0,5,-4,1])}\). Ale baza tej przestrzeni to już układ wektorów.

Pozdrawiam.