Macierz i jej wyznacznik

[mathem]

Mam macierz:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&2&3&0\\5&3&1&4\\4&2&2&1\\5&1&1&4\end{array}\right]}\)
mam obliczyc wyznacznik tej macierzy oraz rozstrzygnąć czy jest odwracalna przyjmując, że
a) A jest macierzą nad pierścieniem \(\displaystyle{ Z}\)
b) A jest macierzą nad pierścieniem \(\displaystyle{ Z_{6}}\)
prosiłbym o dokładne wytłumaczenie jakbym mógł to zrobić, a nie od razu wysyłanie do definicji.

[Charles90]

podaj mi wynik jaki powinien wyjść w wyznaczniku.

mnie wyszło -104. jeżeli dobrze to rozpiszę.

[mathem]

niestety nie posiadam wyniku do tego zadania

[Mariusz M]

1 Wypisz sobie wszystkie permutacje
2. Policz ilość inwersji permutacji
3. Dodaj wszystkie iloczyny

Poprawny wynik to -52

Albo rozwiń względem pierwszego wiersza

\(\displaystyle{ =\det{ \begin{bmatrix} 3&1&4 \\ 2&2&1\\1&1&4 \end{bmatrix} }-2\det{ \begin{bmatrix} 5&1&4 \\ 4&2&1\\5&1&4 \end{bmatrix} }+3\det{ \begin{bmatrix} 5&3&4 \\ 4&2&1\\5&1&4 \end{bmatrix} }}\)

\(\displaystyle{ =14-2 \cdot 0+3 \cdot \left(-22 \right)=14-66=-52}\)

Metody eliminacji Gaussa ani rozkładu macierzy nie możesz użyć ponieważ w zadaniu masz zaznaczone że
macierz jest nad pierścieniem \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\)

W obydwu przypadkach macierz jest odwracalna aczkolwiek macierz odwrotna nie będzie
nad pierścieniem \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) i \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{6}}\)