Korzystając z definicji zbadać liniową niezależność podanych układów wektorów w przestrzeni \(\displaystyle{ R_{2}[x]}\)
\(\displaystyle{ p_{1} = x^{2}-1,\ p_{2} = x+1,\ p_{3} = -x^{2}+2x+3,\ p_{4} = -2x+3}\)
No to teraz to sprawdzam i wychodzi mi coś takiego:
\(\displaystyle{ a(x^{2}-1)+b(x+1)+c(-x^{2}+2x+3)+d(-2x+3)=0 \\
ax^{2}-a+bx+b-cx^{2}-2xc+3c-2xd+3d = 0 \\
(a-c)x^{2}+(b+2c+2d)x-a+b+3c+3d = 0}\)
Więc z tego mamy takie układy równań:
\(\displaystyle{ a-c=0 \\
b+2c+2d = 0 \\
-a+b+3c+3d = 0}\)
No i teraz mamy 3 układy równań i 4 niewiadome. Jak to rozwiązać?
Zbadać liniową niezależność wektorów
-
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Zbadać liniową niezależność wektorów
To znaczy, że na pewno masz więcej rozwiązań niż jedno (zerowe), czyli wektory są liniowo zależne.
Pozdrawiam.
Pozdrawiam.
Zbadać liniową niezależność wektorów
Skąd wiesz, że na pewno jest więcej rozwiązań niż jedno? Przeoczyłem jakieś zagadnienie dot. układów równań?
-
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Zbadać liniową niezależność wektorów
Z tw Kroneckera Capellego wiemlortp pisze:Skąd wiesz, że na pewno jest więcej rozwiązań niż jedno? Przeoczyłem jakieś zagadnienie dot. układów równań?
Pozdrawiam.
Zbadać liniową niezależność wektorów
Podpinam się do tematu, żeby nie zakładać nowego, a mam podobne pytanie.
Skoro mam układ równań:
\(\displaystyle{ a + c=0
2a + b=0
a - 3b=0
b - c=0}\)
Rozumiem, że 3cie i 4te równanie ma te same zmienne więc skracamy go do jednego, ale skąd wiemy, że to równanie ma tylko jedno rozwiązanie zerowe ( bo tak jest napisane w książce ) ?
Rozwiązując ten układ wychodzi mi \(\displaystyle{ a=-b=-c}\) więc podstawiając a=1 mamy \(\displaystyle{ a=1; b=-1; c=-1}\) itd
skąd więc wiadomo, że tylko zero jest rozwiązaniem?
Pozdrawiam.
Skoro mam układ równań:
\(\displaystyle{ a + c=0
2a + b=0
a - 3b=0
b - c=0}\)
Rozumiem, że 3cie i 4te równanie ma te same zmienne więc skracamy go do jednego, ale skąd wiemy, że to równanie ma tylko jedno rozwiązanie zerowe ( bo tak jest napisane w książce ) ?
Rozwiązując ten układ wychodzi mi \(\displaystyle{ a=-b=-c}\) więc podstawiając a=1 mamy \(\displaystyle{ a=1; b=-1; c=-1}\) itd
skąd więc wiadomo, że tylko zero jest rozwiązaniem?
Pozdrawiam.
- r4fall
- Użytkownik
- Posty: 82
- Rejestracja: 24 sty 2010, o 12:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: MG
- Pomógł: 11 razy
Zbadać liniową niezależność wektorów
Rozwiązując układ równań jasno wynika, że jest tylko jedno rozwiązanie:
\(\displaystyle{ 1.a+c=0\\
2.2a+b=0\\
3.a-3b=0\\
4.b-c=0\\\\
1.\Rightarrow c=-a\\
4.\Rightarrow c=b\\
1.\vee 4.\Rightarrow b=-a\\\\}\)
Wstawiając do \(\displaystyle{ 2.}\) mamy \(\displaystyle{ a=0}\), co podiąga, że \(\displaystyle{ b=0}\) i \(\displaystyle{ c=0}\). Równanie \(\displaystyle{ 3.}\) nie zostało wykorzystane, ale musisz sprawdzić czy nie ma sprzeczności, więc podstawiasz rozwiązanie do tego równania, ale w tym przypadku wszystko jest ok.
\(\displaystyle{ 1.a+c=0\\
2.2a+b=0\\
3.a-3b=0\\
4.b-c=0\\\\
1.\Rightarrow c=-a\\
4.\Rightarrow c=b\\
1.\vee 4.\Rightarrow b=-a\\\\}\)
Wstawiając do \(\displaystyle{ 2.}\) mamy \(\displaystyle{ a=0}\), co podiąga, że \(\displaystyle{ b=0}\) i \(\displaystyle{ c=0}\). Równanie \(\displaystyle{ 3.}\) nie zostało wykorzystane, ale musisz sprawdzić czy nie ma sprzeczności, więc podstawiasz rozwiązanie do tego równania, ale w tym przypadku wszystko jest ok.