Zbadać liniową niezależność wektorów

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
lortp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 117
Rejestracja: 13 sty 2009, o 22:41
Podziękował: 48 razy

Zbadać liniową niezależność wektorów

Post autor: lortp »

Korzystając z definicji zbadać liniową niezależność podanych układów wektorów w przestrzeni \(\displaystyle{ R_{2}[x]}\)

\(\displaystyle{ p_{1} = x^{2}-1,\ p_{2} = x+1,\ p_{3} = -x^{2}+2x+3,\ p_{4} = -2x+3}\)

No to teraz to sprawdzam i wychodzi mi coś takiego:
\(\displaystyle{ a(x^{2}-1)+b(x+1)+c(-x^{2}+2x+3)+d(-2x+3)=0 \\
ax^{2}-a+bx+b-cx^{2}-2xc+3c-2xd+3d = 0 \\
(a-c)x^{2}+(b+2c+2d)x-a+b+3c+3d = 0}\)


Więc z tego mamy takie układy równań:
\(\displaystyle{ a-c=0 \\
b+2c+2d = 0 \\
-a+b+3c+3d = 0}\)


No i teraz mamy 3 układy równań i 4 niewiadome. Jak to rozwiązać?
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Zbadać liniową niezależność wektorów

Post autor: BettyBoo »

To znaczy, że na pewno masz więcej rozwiązań niż jedno (zerowe), czyli wektory są liniowo zależne.

Pozdrawiam.
lortp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 117
Rejestracja: 13 sty 2009, o 22:41
Podziękował: 48 razy

Zbadać liniową niezależność wektorów

Post autor: lortp »

Skąd wiesz, że na pewno jest więcej rozwiązań niż jedno? Przeoczyłem jakieś zagadnienie dot. układów równań?
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Zbadać liniową niezależność wektorów

Post autor: BettyBoo »

lortp pisze:Skąd wiesz, że na pewno jest więcej rozwiązań niż jedno? Przeoczyłem jakieś zagadnienie dot. układów równań?
Z tw Kroneckera Capellego wiem

Pozdrawiam.
lortp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 117
Rejestracja: 13 sty 2009, o 22:41
Podziękował: 48 razy

Zbadać liniową niezależność wektorów

Post autor: lortp »

Ok, jest on w książce trochę dalej Dzięki!
astro41
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 10 sie 2009, o 19:15
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 9 razy

Zbadać liniową niezależność wektorów

Post autor: astro41 »

Podpinam się do tematu, żeby nie zakładać nowego, a mam podobne pytanie.
Skoro mam układ równań:
\(\displaystyle{ a + c=0

2a + b=0

a - 3b=0

b - c=0}\)

Rozumiem, że 3cie i 4te równanie ma te same zmienne więc skracamy go do jednego, ale skąd wiemy, że to równanie ma tylko jedno rozwiązanie zerowe ( bo tak jest napisane w książce ) ?
Rozwiązując ten układ wychodzi mi \(\displaystyle{ a=-b=-c}\) więc podstawiając a=1 mamy \(\displaystyle{ a=1; b=-1; c=-1}\) itd
skąd więc wiadomo, że tylko zero jest rozwiązaniem?
Pozdrawiam.
Awatar użytkownika
r4fall
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 82
Rejestracja: 24 sty 2010, o 12:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: MG
Pomógł: 11 razy

Zbadać liniową niezależność wektorów

Post autor: r4fall »

Rozwiązując układ równań jasno wynika, że jest tylko jedno rozwiązanie:
\(\displaystyle{ 1.a+c=0\\
2.2a+b=0\\
3.a-3b=0\\
4.b-c=0\\\\
1.\Rightarrow c=-a\\
4.\Rightarrow c=b\\
1.\vee 4.\Rightarrow b=-a\\\\}\)


Wstawiając do \(\displaystyle{ 2.}\) mamy \(\displaystyle{ a=0}\), co podiąga, że \(\displaystyle{ b=0}\) i \(\displaystyle{ c=0}\). Równanie \(\displaystyle{ 3.}\) nie zostało wykorzystane, ale musisz sprawdzić czy nie ma sprzeczności, więc podstawiasz rozwiązanie do tego równania, ale w tym przypadku wszystko jest ok.
ODPOWIEDZ