Udowodnić podprzestrzeń liniową przestrzeni liniowej

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
lortp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 117
Rejestracja: 13 sty 2009, o 22:41
Podziękował: 48 razy

Udowodnić podprzestrzeń liniową przestrzeni liniowej

Post autor: lortp »

Jak udowodnić, że \(\displaystyle{ X = \{(x,y): 9x^{2}+12xy+4y^{2} = 0 \}}\) jest podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ V = R^{2}}\)?
Ostatnio zmieniony 16 sty 2010, o 20:50 przez lortp, łącznie zmieniany 1 raz.
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Udowodnić podprzestrzeń liniową przestrzeni liniowej

Post autor: BettyBoo »

Na pewno nie jest, bo się nawet w niej nie zawiera.

Pozdrawiam.
lortp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 117
Rejestracja: 13 sty 2009, o 22:41
Podziękował: 48 razy

Udowodnić podprzestrzeń liniową przestrzeni liniowej

Post autor: lortp »

Tfu, \(\displaystyle{ V = R^{2}}\). Przepraszam, źle wpisałem.
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Udowodnić podprzestrzeń liniową przestrzeni liniowej

Post autor: BettyBoo »

A to co innego

W takim razie można zrobić tak: znajdź najpierw jawną postać elementów, które należą do \(\displaystyle{ X}\) (rozwiąż warunek), a potem skorzystaj z którejś definicji podprzestrzeni.

Pozdrawiam.
lortp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 117
Rejestracja: 13 sty 2009, o 22:41
Podziękował: 48 razy

Udowodnić podprzestrzeń liniową przestrzeni liniowej

Post autor: lortp »

No tak chciałem zrobić, ale są dwie niewiadome i tylko jedno równanie.
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Udowodnić podprzestrzeń liniową przestrzeni liniowej

Post autor: BettyBoo »

Ale za to nie byle jakie - po przekształceniu wychodzi \(\displaystyle{ (3x+2y)^2=0}\), więc jasne, jakie jest rozwiązanie?

Pozdrawiam.
lortp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 117
Rejestracja: 13 sty 2009, o 22:41
Podziękował: 48 razy

Udowodnić podprzestrzeń liniową przestrzeni liniowej

Post autor: lortp »

Czy wychodzi, że x=0 i y=0 więc jest to podprzestrzeń liniowa bo wektor zerowy dodany do wektora zerowego lub pomnożony przez jakąś liczbę nadal należy do tej bazy Dzięki
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Udowodnić podprzestrzeń liniową przestrzeni liniowej

Post autor: BettyBoo »

EEE no zara zara, nic takiego nie wychodzi

\(\displaystyle{ (3x+2y)^2=0\ \Leftrightarrow\ 3x+2y=0\ \Leftrightarrow \ 3x=-2y}\)

Zatem elementy zbioru X mają na przykład postać \(\displaystyle{ (2t,-3t),\ t\in\mathbb{R}}\)

A teraz skorzystaj z definicji podprzestrzeni.

Pozdrawiam.
lortp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 117
Rejestracja: 13 sty 2009, o 22:41
Podziękował: 48 razy

Udowodnić podprzestrzeń liniową przestrzeni liniowej

Post autor: lortp »

Czyli teraz udowodnienie to:
\(\displaystyle{ \vec{w} = (2t_{1},-3t_{1}) \hbox{ i } \vec{u} = (2t_{2},-3t_{2}); \vec{w} + \vec{u} = (2(t_{1}+t_{2}),-3(t_{1}+t_{2}))}\)

Czyli spełnia i jest przestrzenią.

tak?
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Udowodnić podprzestrzeń liniową przestrzeni liniowej

Post autor: BettyBoo »

Jeszcze warunek \(\displaystyle{ a\vec{w}\in X}\). Ponadto warunki podstawowe - że to jest niepusty podzbiór.

Ale tak, wychodzi, że to podprzestrzeń.

Pozdrawiam.

PS Oba te warunki można załatwić jednym, mianowicie \(\displaystyle{ a\vec{w}+b\vec{u}\in X}\)
lortp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 117
Rejestracja: 13 sty 2009, o 22:41
Podziękował: 48 razy

Udowodnić podprzestrzeń liniową przestrzeni liniowej

Post autor: lortp »

Hmm a jak udowodnić, że jest on niepusty? Bo tego w książce nie mogę znaleźć.
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Udowodnić podprzestrzeń liniową przestrzeni liniowej

Post autor: BettyBoo »

No jakby widać, że jest niepusty, nie? zawiera np (0,0) (i nieskończenie wiele innych punktów)

Pozdrawiam.
lortp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 117
Rejestracja: 13 sty 2009, o 22:41
Podziękował: 48 razy

Udowodnić podprzestrzeń liniową przestrzeni liniowej

Post autor: lortp »

No wiadomo, tylko udowodnienie a widzenie to dwie różne rzeczy
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Udowodnić podprzestrzeń liniową przestrzeni liniowej

Post autor: BettyBoo »

Ponieważ \(\displaystyle{ (0,0)\in X}\) to znaczy, że X jest niepusty. Koniec dowodu

Pozdrawiam.
ODPOWIEDZ