Wyznaczyc jadro obraz oraz ich bazy ( podac wymiary ) dla przeksztalcenia liniowego \(\displaystyle{ \varphi : \mathbb{R}[x]_2 \to \mathbb{R}[x]_3}\), \(\displaystyle{ \varphi(f(x)) = (2x^2 + x )\cdot f^\prime (x)}\)
Probowalem robic to w ten sposob:
\(\displaystyle{ f(x) = Ax^2 + Bx}\) \(\displaystyle{ \varphi(f^\prime (x) ) = (2x^2 + x )\cdot (2Ax + B )}\)
Tak dokładniej to \(\displaystyle{ f=Ax^2+Bx+C}\) i masz tam niepotrzebne primy jakieś po lewej stronie.
Obraz już masz: \(\displaystyle{ Im\varphi=\{4Ax^3 + x^2 (2B + 2A ) + Bx,\ A,B\in\mathbb{R}\}}\).
Przykładowe generatory obrazu widać (wystarczy wziąć \(\displaystyle{ A=0, B=1}\) oraz \(\displaystyle{ A=1,B=0}\)) i właściwie widać, że są liniowo niezależne (jeśli nie widzisz, to sprawdź z definicji) - więc jest to przykładowa baza w obrazie.
Jądro wyznaczysz z definicji - jest to zbiór wszystkie elementów \(\displaystyle{ f \in\mathbb{R}_2[x]}\) takich, że \(\displaystyle{ \varphi(f)=0}\). Bazę w jądrze wyznacza się analogicznie jak w obrazie.
Wymiar przestrzeni to ilość wektorów bazowych.
Można to również zrobić wykorzystując macierz przekształcenia.
Te dwa wektory (wielomiany) tworzą przykładową bazę w obrazie przekształcenia \(\displaystyle{ f.}\) Można wziąć zamiast drugiego wektora np wektor \(\displaystyle{ 2x^3+x^2}\), ale nie ma to znaczenia, jako że baza jest tylko przykładowa.
Jak wyznaczyłeś jądro to też nie wiem Trzeba rozwiązać równanie \(\displaystyle{ 4Ax^3 + x^2 (2B + 2A ) + Bx=0\ \Rightarrow \ A=B=0}\), zatem \(\displaystyle{ Ker f=\{C,\ C\in\mathbb{R}\}}\) i przykładową bazą jądra jest wielomian \(\displaystyle{ e_3=1}\)
