Wzór przekształcenia

zbychu1314 · Post autor: **zbychu1314** » 16 sty 2010, o 13:57

Znależć wzór przekształcenia jeśli f: \(\displaystyle{ R^{5}}\) \(\displaystyle{ \rightarrow}\) \(\displaystyle{ R^{3}}\) A-baza kanoniczna B=((2,1,0),(1,0,2),(1,0,3)

\(\displaystyle{ M^{A}_{B}}\)=\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&-1&0&1&1\\-2&2&1&-5&0\\-1&1&-2&5&-5\end{array}\right]}\)

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 16 sty 2010, o 14:05

\(\displaystyle{ M^A_{kan}=MC}\), gdzie C jest macierzą przejścia z bazy B do kanonicznej. Z otrzymanej macierzy łatwo widać wzór przekształcenia.

Pozdrawiam.

zbychu1314 · Post autor: **zbychu1314** » 16 sty 2010, o 14:08

Mógłbyś to jakoś rozpisać bo nie wiem zupełnie o co tu biega

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 16 sty 2010, o 14:11

A wiesz co to macierz przekształcenia i macierz przejścia z bazy do bazy? Jeśli nie wiesz, to sprawdź w notatkach a potem przeczytaj jeszcze raz co napisałam.

Pozdrawiam.

Kwazar90 · Post autor: **Kwazar90** » 16 sty 2010, o 14:27

Jestem świeży w tym temacie ale mysle, ze wzor przeksztalcenia bedzie rowny:

\(\displaystyle{ f(x,y,z,t,d)=(x-y+t+d, -2x + 2y + z - 5t, -x+y-2x+5t-5d )}\)

zbychu1314 · Post autor: **zbychu1314** » 16 sty 2010, o 14:31

Wiesz nie o sam wynik tu chodzi tylko sposób rozwiązania mógłbyś to przesdstawić krok po kroku bo tego wogóle nie czaje a na rozwiązanym przykładzie łatwiej zrozumieć.

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 16 sty 2010, o 14:52

Kwazar90, wzór przekształcenia byłby taki, gdyby baza B też była kanoniczna (a nie jest). Dlatego najpierw trzeba mieć macierz przekształcenia w obu bazach kanonicznych, żeby taki wzór łatwo napisać.

Macierz przejścia D od bazy kanonicznej do B jest łatwa do znalezienia - z definicji to są współrzędne wektorów bazy B zapisane po kolei kolumnami. Macierz przejścia od bazy B do kanonicznej to macierz odwrotna do D. Wystarczy ją obliczyć i odpowiednio wymnożyć (z lewej strony) przed daną macierz M.

Wówczas z definicji macierzy przekształcenia otrzymana macierz jest macierzą przekształcenia w obu bazach kanonicznych - ma ona postać

\(\displaystyle{ M^A_{kan}=\left[\begin{array}{ccccc}1&-1&0&1&1\\-2&2&1&-5&0\\-1&1&-2&5&-5\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}2&1&1\\1&0&0\\0&2&3\end{array}\right]^{-1}}\)

Kolumnami macierzy przekształcenia są współrzędne obrazy wektorów bazowych dziedziny w bazie przeciwdziedziny. Gdyby ta macierz która jest podana była w obu bazach kanonicznych, to mielibyśmy

\(\displaystyle{ f(1,0,0,0,0)=(1,-2,-1)}\) (pierwsza kolumna macierzy to obraz pierwszego wektora bazowego)

\(\displaystyle{ f(0,1,0,0,0)=(-1,2,1)}\) (druga kolumna macierzy to obraz drugiego wektora bazowego)

itd

Korzystając z liniowości przekształcenia mamy dalej

\(\displaystyle{ f(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=x_1f(1,0,0,0,0)+x_2f(0,1,0,0,0)+x_3f(0,0,1,0,0)+x_4f(0,0,0,1,0)+x_5f(0,0,0,0,1)}\)

i z tej równości wyliczasz wzór przekształcenia.

Pozdrawiam.

zbychu1314 · Post autor: **zbychu1314** » 16 sty 2010, o 15:18

Jeszcze jedno polecenie do tego zdania Obilicz
f(\(\displaystyle{ {[1 2 3 2 1]^{T}}\))A
\(\displaystyle{ f^{-1}}\)(\(\displaystyle{ {[2-50]}^{T}}\)B

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 16 sty 2010, o 15:27

To też wynika z definicji macierzy przekształcenia.

Pierwsze - zależy w jakiej bazie ma być odpowiedź. Jeśli w kanonicznej to mnożysz macierz przekształcenia w obu bazach kanonicznych z prawej strony przez wektor \(\displaystyle{ [1\ 2\ 3\ 2\ 1]^T}\). Jeśli w \(\displaystyle{ B}\), to mnożysz wyjściową macierz przez ten wektor.

Drugie: odpowiedzią jest rozwiązanie układu równań \(\displaystyle{ (M^A_B)X=[2\ -5\ 0]^T}\).

Pozdrawiam.