Wyznacznik macierzy

ensh · Post autor: **ensh** » 16 sty 2010, o 12:13

Witam,

Czy mógłby mi ktoś pokrótce wyjaśnić jak rozwiązać zadanie typu:

Obliczyć \(\displaystyle{ det(X)}\), gdzie macierz \(\displaystyle{ X}\) spełnia równanie:

\(\displaystyle{ A ^{3} X(A ^{-1} ) ^{T} = -I ^{3}}\)

gdzie \(\displaystyle{ det(A)=3}\), \(\displaystyle{ I}\) - macierz jednostkowa o wymiarach \(\displaystyle{ 4 \times 4}\)

Z góry dziękuję,
P.O.

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 16 sty 2010, o 12:47

Chodzi chyba o obliczenie det(X)?

Pokrótce to wystarczy skorzystać z własności wyznacznika.

Pozdrawiam.

ensh · Post autor: **ensh** » 16 sty 2010, o 12:51

Dokładnie, det(X) wkradł się mały błąd.-- 16 sty 2010, o 14:25 --A czy mógłbym prosić o bardziej szczegółowe wytłumaczenie ?

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 17 sty 2010, o 08:50

\(\displaystyle{ \det{A}=\det{A^{T}}}\)

\(\displaystyle{ \det{A^{-1}}= \frac{1}{\det{A}}}\)

\(\displaystyle{ \det{I}=1}\)

\(\displaystyle{ \det{ \left(AB \right) }=\det{A} \cdot \det{B}}\)

I to wszystko co może się Tobie przydać

\(\displaystyle{ 3^3 \cdot \det{X} \cdot \frac{1}{3}= \left( - \left( 1\right) ^3\right) ^4}\)

\(\displaystyle{ 3^2 \cdot \det{X}=1}\)

\(\displaystyle{ 9\det{X}=1}\)

\(\displaystyle{ \det{X}= \frac{1}{9}}\)

ensh · Post autor: **ensh** » 17 sty 2010, o 12:16

\(\displaystyle{ \left( - \left( 1\right) ^3\right) ^4}\) - rozumiem że ostatnia potęga bierze się z wymiaru macierzy ?

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 17 sty 2010, o 12:20

mariuszm pisze:\(\displaystyle{ 3^3 \cdot \det{X} \cdot \frac{1}{3}= \left( - \left( 1\right) ^3\right) ^4}\)

Niezupełnie tak. Jeśli \(\displaystyle{ I}\) jest macierzą stopnia 4, to \(\displaystyle{ det(-I^3)=(-1)^4det(I)^3}\)

Pozdrawiam.