Hmm tak się zastanawiam czy można znaleźć w jakiejś książce dowód który napisałeś bez wykorzystania stopnia przestępnego? Znasz może jakąś książkę?
ignis jeśli chodzi o Twój problem to jest w Fultonie ten dowód
krzywa algebraiczna płaska- dowód
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
krzywa algebraiczna płaska- dowód
To zależy jaką definicją wymiaru się posługujemy.
Można zdefiniować wymiar rozmaitości algebraicznej (zbioru algebraicznego nierozkładalnego) \(\displaystyle{ V}\) nad ciałem \(\displaystyle{ K}\) na kilka równoważnych sposobów - jednym z nich jest stopień przestępny ciała funkcji wymiernych \(\displaystyle{ K(V).}\)
Innym jaki w tej chwili mi przychodzi do głowy jest wymiar Krulla pierścienia współrzędnych \(\displaystyle{ K[V]}\)
Wtedy dla dowodu implikacji w której korzystamy ze stopnia przestępnego wystarczy wiedzieć, że:
-pierścień wielomianów ma wymiar Krulla \(\displaystyle{ 2,}\)
-\(\displaystyle{ I(C) = (f)}\) gdzie \(\displaystyle{ f}\) jest nierozkładalny jest ideałem pierwszym wysokości 1,
-\(\displaystyle{ K[V] = K[X,Y]/(f),}\)
-dla całkowitej algebry afinicznej \(\displaystyle{ }\) i jej ideału pierwszego \(\displaystyle{ \mathfrak{p}}\) mamy \(\displaystyle{ \dim A = \dim A/\mathfrak{p} + \text{ht}\,\mathfrak{p}}\).
Stąd mamy \(\displaystyle{ \dim K[V] = \dim K[X,Y] - \text{ht}\,(f) = 2 - 1 = 1.}\)
Niestety nie miałem jeszcze okazji pouczyć się na dobre geometrii algebraicznej, a mam za sobą kurs algebry przemiennej, dlatego moje wypowiedzi w tym temacie wyglądają właśnie tak jak wyglądają.
Można zdefiniować wymiar rozmaitości algebraicznej (zbioru algebraicznego nierozkładalnego) \(\displaystyle{ V}\) nad ciałem \(\displaystyle{ K}\) na kilka równoważnych sposobów - jednym z nich jest stopień przestępny ciała funkcji wymiernych \(\displaystyle{ K(V).}\)
Innym jaki w tej chwili mi przychodzi do głowy jest wymiar Krulla pierścienia współrzędnych \(\displaystyle{ K[V]}\)
Wtedy dla dowodu implikacji w której korzystamy ze stopnia przestępnego wystarczy wiedzieć, że:
-pierścień wielomianów ma wymiar Krulla \(\displaystyle{ 2,}\)
-\(\displaystyle{ I(C) = (f)}\) gdzie \(\displaystyle{ f}\) jest nierozkładalny jest ideałem pierwszym wysokości 1,
-\(\displaystyle{ K[V] = K[X,Y]/(f),}\)
-dla całkowitej algebry afinicznej \(\displaystyle{ }\) i jej ideału pierwszego \(\displaystyle{ \mathfrak{p}}\) mamy \(\displaystyle{ \dim A = \dim A/\mathfrak{p} + \text{ht}\,\mathfrak{p}}\).
Stąd mamy \(\displaystyle{ \dim K[V] = \dim K[X,Y] - \text{ht}\,(f) = 2 - 1 = 1.}\)
Niestety nie miałem jeszcze okazji pouczyć się na dobre geometrii algebraicznej, a mam za sobą kurs algebry przemiennej, dlatego moje wypowiedzi w tym temacie wyglądają właśnie tak jak wyglądają.
-
rego
- Użytkownik
- Posty: 69
- Rejestracja: 3 kwie 2007, o 21:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 8 razy
krzywa algebraiczna płaska- dowód
a znasz może jakąś książkę w której jest ten dowód? Bo wtedy miałbym wszystkie pojęcia z tym związane i te ktore zostały użyte
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
krzywa algebraiczna płaska- dowód
Możesz zobaczyć trzeci rozdział w:
Klaus Hulek, Elementary algebraic geometry
i odnośniki do literatury tamże; powinno być tam napisane w miarę przystępnie o wymiarze.
Twierdzenie o którym pisałem (tzn równoważność tych dwóch definicji wymiaru) jest bez dowodu, ale jest napisane, gdzie to można znaleźć; ewentualnie dowodów takich faktów z algebry przemiennej możesz szukać w:
Balcerzyk, Józefiak, Pierścienie przemienne
Klaus Hulek, Elementary algebraic geometry
i odnośniki do literatury tamże; powinno być tam napisane w miarę przystępnie o wymiarze.
Twierdzenie o którym pisałem (tzn równoważność tych dwóch definicji wymiaru) jest bez dowodu, ale jest napisane, gdzie to można znaleźć; ewentualnie dowodów takich faktów z algebry przemiennej możesz szukać w:
Balcerzyk, Józefiak, Pierścienie przemienne