Nie wiem jak ugryźć to zadanie. Kiedyś umiałem robić tego typu zadania z Tw. Cauchy'iego, jednak teraz już zapomniałem jak to się robi.
Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ L}\) jest macierzą trójkątną dolną z jedynkami na przekątnej
głównej, to \(\displaystyle{ L^{-1}}\) również jest macierzą tego typu.
Macierz odwrotna do trójkątnej dolnej
-
abc666
-
videl.prv
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 26 paź 2009, o 11:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 2 razy
Macierz odwrotna do trójkątnej dolnej
Ok, przypomniałem sobie metodę.
Przykładowo mamy macierz \(\displaystyle{ A = \left\[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 4 & 5 & 1 \end{array}\right\]}\), dla której chcemy znaleźć macierz odwrotną.
Dokładamy od prawej strony macierz jednostkową i odejmujemy wiersze tak, by w miejscu, gdzie była nasza macierz trójkątna, pojawiła się macierz jednostkowa (jedynki na przekątnej, pozostałe wyrazy, to zera).
W praktyce:
\(\displaystyle{ \left\[\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 5 & 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]
= \left\[\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1 \end{array}\right]
= \left\[\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 9 & -5 & 1 \end{array}\right]}\)
Szukana macierz \(\displaystyle{ A^{-1} = \left\[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ 9 & -5 & 1 \end{array}\right]}\) rzeczywiście jest trójkątna dolna.
W oparciu o tą metodę znajdowania macierzy odwrotnej, można wywnioskować oczywisty dowód.
Przykładowo mamy macierz \(\displaystyle{ A = \left\[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 4 & 5 & 1 \end{array}\right\]}\), dla której chcemy znaleźć macierz odwrotną.
Dokładamy od prawej strony macierz jednostkową i odejmujemy wiersze tak, by w miejscu, gdzie była nasza macierz trójkątna, pojawiła się macierz jednostkowa (jedynki na przekątnej, pozostałe wyrazy, to zera).
W praktyce:
\(\displaystyle{ \left\[\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 5 & 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]
= \left\[\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1 \end{array}\right]
= \left\[\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 9 & -5 & 1 \end{array}\right]}\)
Szukana macierz \(\displaystyle{ A^{-1} = \left\[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ 9 & -5 & 1 \end{array}\right]}\) rzeczywiście jest trójkątna dolna.
W oparciu o tą metodę znajdowania macierzy odwrotnej, można wywnioskować oczywisty dowód.
Macierz odwrotna do trójkątnej dolnej
W zadaniu jest drobny błąd, przy wyliczaniu współczynnika \(\displaystyle{ l_{31}}\) który wynosi \(\displaystyle{ -4+3*5=11}\) a nie \(\displaystyle{ 9}\)
Tak więc szukana macierz wynosi \(\displaystyle{ A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ 11 & -5 & 1 \end{array}\right]}\)
Tak więc szukana macierz wynosi \(\displaystyle{ A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ 11 & -5 & 1 \end{array}\right]}\)