Podaj wzór przekształcenia liniowego.

[Wilkołak]

Zbadaj czy istnieje przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ \varphi : \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^3}\) spełniające zadane warunki. Jesli tak to znaleźć przykład takiego \(\displaystyle{ \varphi}\) podając jego wzór.

\(\displaystyle{ \ker \varphi = lin ((1,1,1,1), (1,1,1,0)), \ \ \ \ im \varphi = lin((1,1,1), (1,1,0))}\)

Jakieś podpowiedzi?

[BettyBoo]

Czy istnieje - można sprawdzić ze wzoru na wymiary.

Najprościej zrobić to tak: uzupełnić bazę w jądrze do bazy dziedziny - np tak:

\(\displaystyle{ B=((1,0,0,0),(0,1,0,0),(1,1,1,0),(1,1,1,1))}\)

i założyć, że macierz przekształcenia w tej bazie oraz kanonicznej w przeciwdziedzinie ma np postać

\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 1&1&0&0\\ 1&1&0&0\\ 1&0&0&0\end{bmatrix}}\)

Dla znalezienia wzoru przekształcenia wystarczy znaleźć macierz tego przekształcenia w obu bazach kanonicznych - a to się robi za pomocą macierzy zmiany bazy (z gotowego wzoru)

Pozdrawiam.

[Wilkołak]

Ok, spróbuję tak, tylko najpierw doczytam o tym, chociaż autorowi zadania pewnie chodziło o inną metodę, skoro macierze przekształcenia liniowego są dwa rozdziały dalej w skrypcie.

[BettyBoo]

To samo można zrobić działając na wzorze przekształcenia (zapis macierzowy jest po prostu ładniejszy i krótszy).

Zakładasz, że \(\displaystyle{ f(1,0,0,0)=(1,1,1)}\) itd, a potem wyprowadzasz wzór ogólny korzystając z liniowości f (najpierw szukając współrzędnych dowolnego wektora przestrzeni w bazie B).

Pozdrawiam.