Liniowa zależność wektorów i wektory spełniające układ rów.

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
k1jek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 15 lis 2009, o 11:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 50 cm od monitora :)
Podziękował: 7 razy

Liniowa zależność wektorów i wektory spełniające układ rów.

Post autor: k1jek »

Sprawdzić, czy dane wektory przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) są liniowo zależne:

\(\displaystyle{ V = R ^{3} , (3, -1, 2) , (-9, 3, -6);}\)
oraz
\(\displaystyle{ V = R ^{3} , (1, 0, -4) , (5, 1, 1) , (1, 1, 0), (1, 0, 8);}\)

Wyznacz jedną z baz przestrzeni \(\displaystyle{ W}\) utworzonej przez wektory, które spełniają dany układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x _{1} + 3x _{2} +4x _{4} = 0 \\ 4x _{1} + 2x _{2} + 3x _{3} = 0 \end{cases}}\)

oraz

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x_{1}+4x_{2}+x_{3}+2x_{4} = 0 \\ x_{1}+4x_{2}+3x_{3}+x_{4}=0 \\ 4x_{1}+4x_{2}+2x_{3}+4x_{4} = 0 \end{cases}}\)

Co do pierwszego zadania. Wiem, że są będą liniowo zależne wtedy, gdy układ równań z nich utworzony jest równy wektorowi zerowemu tylko dla współczynników równych 0. Podobno jest jakaś łatwiejsza metoda na sprawdzenie tego, niż obliczanie układu równań.

W drugim zadaniu wpisuję układ równań w macierz i Gaussem dochodzę do czegoś takiego jak:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&0&1\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{array} \right] \left[\begin{array}{cccc}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4} \end{array} \right] = \left[\begin{array}{cccc}0\\0\\0\end{array} \right]}\)

i nie wiem co z tym dalej począć.

Proszę o pomoc .
Elo-Rap
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 164
Rejestracja: 7 lis 2009, o 11:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 25 razy

Liniowa zależność wektorów i wektory spełniające układ rów.

Post autor: Elo-Rap »

Pierwsze zadanie sprowadza się do sprawdzenia czy kombinacja wektorow pomnozonych przez skalary nie da innego wektora. Okazuje sie że pierwsze są liniowo zalezne poniewaz :

\(\displaystyle{ (-9,3,-6) = \alpha(3,-1,2)}\)

Dla \(\displaystyle{ \alpha = -3}\) te wektory są równe zatem są liniowo zależne.

W drugim przykladzie trzeba użyc twierdzenia o rzędzie macierzy utworzonej z wektorów, niech macierz A = \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&-4\\5&1&1\\1&1&0\\1&0&8\end{array}\right]}\)

Wtedy wektory są liniowo niezależne jeśli rząd macierzy jest równy ilości kolumn, a poniewaz w tym wypadku \(\displaystyle{ rankA = 3}\) zatem wektory są liniowo niezalezne.

Obliczę Ci jeszcze jedną bazę z drugiego podpunktu zadania, mamy dwa uklady równań z czego możemy stworzyc następującą podprzestrzen liniową :

\(\displaystyle{ W = \{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) \ : \ 2x_{1} + 3x_{2} + 4x_{4} = 4x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} = 0\}}\)

Przekształcmy to troszkę :
\(\displaystyle{ x_{1} = -\frac{3}{2}x_{2} - 2x_{4}}\)
\(\displaystyle{ x_{2} = -2x_{1} - \frac{3}{2}x_{3} = 3x_{2} + 4x_{4} - \frac{3}{2}x_{3}}\)
\(\displaystyle{ x_{2} = -2x_{4} + \frac{3}{4}x_{3}}\)
\(\displaystyle{ x_{1} = x_{4} - \frac{9}{8}x_{3}}\)
Teraz nasza podprzestrzen moze zostac zapisana w ten sposob :

\(\displaystyle{ W=\{(x_{4} - \frac{9}{8}x_{3}, -2x_{4} + \frac{3}{4}x_{3},x_{3},x_{4}) \ : \ x_{3},x_{4} \in R \}}\)

Zatem nasza baza przestrzeni jest generowana przez wektory \(\displaystyle{ spanW = \{(- \frac{9}{8}, \frac{3}{4}, 1, 0) \ , \ (1,-2,0,1)\}}\)

Jeszcze tylko należy sprawdzic czy podane wektory są liniowo niezależne

Pozdrawiam Maciek.
ODPOWIEDZ