Sprawdzić, czy dane wektory przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) są liniowo zależne:
\(\displaystyle{ V = R ^{3} , (3, -1, 2) , (-9, 3, -6);}\)
oraz
\(\displaystyle{ V = R ^{3} , (1, 0, -4) , (5, 1, 1) , (1, 1, 0), (1, 0, 8);}\)
Wyznacz jedną z baz przestrzeni \(\displaystyle{ W}\) utworzonej przez wektory, które spełniają dany układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x _{1} + 3x _{2} +4x _{4} = 0 \\ 4x _{1} + 2x _{2} + 3x _{3} = 0 \end{cases}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x_{1}+4x_{2}+x_{3}+2x_{4} = 0 \\ x_{1}+4x_{2}+3x_{3}+x_{4}=0 \\ 4x_{1}+4x_{2}+2x_{3}+4x_{4} = 0 \end{cases}}\)
Co do pierwszego zadania. Wiem, że są będą liniowo zależne wtedy, gdy układ równań z nich utworzony jest równy wektorowi zerowemu tylko dla współczynników równych 0. Podobno jest jakaś łatwiejsza metoda na sprawdzenie tego, niż obliczanie układu równań.
W drugim zadaniu wpisuję układ równań w macierz i Gaussem dochodzę do czegoś takiego jak:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&0&1\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{array} \right] \left[\begin{array}{cccc}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4} \end{array} \right] = \left[\begin{array}{cccc}0\\0\\0\end{array} \right]}\)
i nie wiem co z tym dalej począć.
Proszę o pomoc .
Liniowa zależność wektorów i wektory spełniające układ rów.
-
- Użytkownik
- Posty: 164
- Rejestracja: 7 lis 2009, o 11:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 25 razy
Liniowa zależność wektorów i wektory spełniające układ rów.
Pierwsze zadanie sprowadza się do sprawdzenia czy kombinacja wektorow pomnozonych przez skalary nie da innego wektora. Okazuje sie że pierwsze są liniowo zalezne poniewaz :
\(\displaystyle{ (-9,3,-6) = \alpha(3,-1,2)}\)
Dla \(\displaystyle{ \alpha = -3}\) te wektory są równe zatem są liniowo zależne.
W drugim przykladzie trzeba użyc twierdzenia o rzędzie macierzy utworzonej z wektorów, niech macierz A = \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&-4\\5&1&1\\1&1&0\\1&0&8\end{array}\right]}\)
Wtedy wektory są liniowo niezależne jeśli rząd macierzy jest równy ilości kolumn, a poniewaz w tym wypadku \(\displaystyle{ rankA = 3}\) zatem wektory są liniowo niezalezne.
Obliczę Ci jeszcze jedną bazę z drugiego podpunktu zadania, mamy dwa uklady równań z czego możemy stworzyc następującą podprzestrzen liniową :
\(\displaystyle{ W = \{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) \ : \ 2x_{1} + 3x_{2} + 4x_{4} = 4x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} = 0\}}\)
Przekształcmy to troszkę :
\(\displaystyle{ x_{1} = -\frac{3}{2}x_{2} - 2x_{4}}\)
\(\displaystyle{ x_{2} = -2x_{1} - \frac{3}{2}x_{3} = 3x_{2} + 4x_{4} - \frac{3}{2}x_{3}}\)
\(\displaystyle{ x_{2} = -2x_{4} + \frac{3}{4}x_{3}}\)
\(\displaystyle{ x_{1} = x_{4} - \frac{9}{8}x_{3}}\)
Teraz nasza podprzestrzen moze zostac zapisana w ten sposob :
\(\displaystyle{ W=\{(x_{4} - \frac{9}{8}x_{3}, -2x_{4} + \frac{3}{4}x_{3},x_{3},x_{4}) \ : \ x_{3},x_{4} \in R \}}\)
Zatem nasza baza przestrzeni jest generowana przez wektory \(\displaystyle{ spanW = \{(- \frac{9}{8}, \frac{3}{4}, 1, 0) \ , \ (1,-2,0,1)\}}\)
Jeszcze tylko należy sprawdzic czy podane wektory są liniowo niezależne
Pozdrawiam Maciek.
\(\displaystyle{ (-9,3,-6) = \alpha(3,-1,2)}\)
Dla \(\displaystyle{ \alpha = -3}\) te wektory są równe zatem są liniowo zależne.
W drugim przykladzie trzeba użyc twierdzenia o rzędzie macierzy utworzonej z wektorów, niech macierz A = \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&-4\\5&1&1\\1&1&0\\1&0&8\end{array}\right]}\)
Wtedy wektory są liniowo niezależne jeśli rząd macierzy jest równy ilości kolumn, a poniewaz w tym wypadku \(\displaystyle{ rankA = 3}\) zatem wektory są liniowo niezalezne.
Obliczę Ci jeszcze jedną bazę z drugiego podpunktu zadania, mamy dwa uklady równań z czego możemy stworzyc następującą podprzestrzen liniową :
\(\displaystyle{ W = \{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) \ : \ 2x_{1} + 3x_{2} + 4x_{4} = 4x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} = 0\}}\)
Przekształcmy to troszkę :
\(\displaystyle{ x_{1} = -\frac{3}{2}x_{2} - 2x_{4}}\)
\(\displaystyle{ x_{2} = -2x_{1} - \frac{3}{2}x_{3} = 3x_{2} + 4x_{4} - \frac{3}{2}x_{3}}\)
\(\displaystyle{ x_{2} = -2x_{4} + \frac{3}{4}x_{3}}\)
\(\displaystyle{ x_{1} = x_{4} - \frac{9}{8}x_{3}}\)
Teraz nasza podprzestrzen moze zostac zapisana w ten sposob :
\(\displaystyle{ W=\{(x_{4} - \frac{9}{8}x_{3}, -2x_{4} + \frac{3}{4}x_{3},x_{3},x_{4}) \ : \ x_{3},x_{4} \in R \}}\)
Zatem nasza baza przestrzeni jest generowana przez wektory \(\displaystyle{ spanW = \{(- \frac{9}{8}, \frac{3}{4}, 1, 0) \ , \ (1,-2,0,1)\}}\)
Jeszcze tylko należy sprawdzic czy podane wektory są liniowo niezależne
Pozdrawiam Maciek.