Zadanie 1.
Niech \(\displaystyle{ m \in \mathbb{R} , T:\mathbb{R} ^{3} \rightarrow \mathbb{R} ^{3}}\) Znaleźć macierz operatora liniowego danego wzorem. \(\displaystyle{ T(x _{1},x _{2} , x _{3})=(x _{1} +(m-1)x _{3}, 0 , (m ^{2} -1)x _{1} + x _{3} )}\).
Dla jakich \(\displaystyle{ m \in \mathbb{R}, T \circ T = T}\)
Zadanie 2.
Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie przestrzenią liniową z bazą \(\displaystyle{ e _{1},e _{2},e _{3}}\), zaś \(\displaystyle{ T: X \rightarrow X}\) operatorem liniowym, który w tej bazie ma macierz
\(\displaystyle{ A _{T} = \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\2&-1&0\\0&1&1\end{array}\right]}\).
Wyznacz \(\displaystyle{ T ^{-1}(3e _{1} +5e _{2} )}\)
Zadanie 3.
W \(\displaystyle{ \mathbb{R} ^{4}}\) dany jest operator \(\displaystyle{ Q: \mathbb{R} ^{4} \rightarrow \mathbb{R} ^{4}}\) zdefiniowany wzorem \(\displaystyle{ Q(e _{n})=T( \frac{1}{2}(e _{n}+e _{1}))}\), gdzie \(\displaystyle{ T: \mathbb{R} ^{4} \rightarrow \mathbb{R} ^{4}}\) jest operatorem liniowym i \(\displaystyle{ T(e _{1})=e _{1} , T(e _{n})=e _{n-1} , n=2,3,4.}\)
Znaleźć macierz operatora \(\displaystyle{ Q}\).
Znaleść macierz operatora liniowego.
-
mariusz689
- Użytkownik
- Posty: 249
- Rejestracja: 15 lut 2008, o 22:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: LBN
- Podziękował: 48 razy
-
mariusz689
- Użytkownik
- Posty: 249
- Rejestracja: 15 lut 2008, o 22:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: LBN
- Podziękował: 48 razy
-
BettyBoo
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Znaleść macierz operatora liniowego.
Tutaj wystarczy znać definicje i to wszystko.
1) \(\displaystyle{ T(x _{1},x _{2} , x _{3})=(x _{1} +(m-1)x _{3}, 0 , (m ^{2} -1)x _{1} + x _{3} ).}\) Szukasz obrazów wektorów bazy kanonicznej (ponieważ nie jest napisane o jaką bazę chodzi, więc pewnie o kanoniczną), czyli:
\(\displaystyle{ T(1,0,0)=(1, 0 , m ^{2} -1),\ T(0,1,0)=(0,0,0),\ T(0,0,1)=(m-1,0,1)}\)
Te obrazy zapisujesz jako kolumny po kolei do macierzy - i to jest szukana macierz przekształcenia:
\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 1&0&m-1\\ 0&0&0\\ m^2-1&0&1\end{bmatrix}}\)
Dla drugiej części zadania wystarczy wiedzieć, że macierzą przekształcenia \(\displaystyle{ T\circ T=T^2}\) jest \(\displaystyle{ A^2}\), więc chodzi o znalezienie takich wartości \(\displaystyle{ m}\), dla których zachodzi równość \(\displaystyle{ A^2=A}\).
2) Macierzą przekształcenia odwrotnego jest macierz odwrotna, a więc
\(\displaystyle{ T ^{-1}(3e _{1} +5e _{2} )=A^{-1}\begin{bmatrix}3\\ 5\\ 0\end{bmatrix}}\).
3) skoro masz podane obrazy wektorów bazowych dla T, to wystarczy obliczyć obrazy wektorów bazowych dla przekształcenia Q, a potem zapisać je po kolei kolumnami do macierzy.
Pozdrawiam.
1) \(\displaystyle{ T(x _{1},x _{2} , x _{3})=(x _{1} +(m-1)x _{3}, 0 , (m ^{2} -1)x _{1} + x _{3} ).}\) Szukasz obrazów wektorów bazy kanonicznej (ponieważ nie jest napisane o jaką bazę chodzi, więc pewnie o kanoniczną), czyli:
\(\displaystyle{ T(1,0,0)=(1, 0 , m ^{2} -1),\ T(0,1,0)=(0,0,0),\ T(0,0,1)=(m-1,0,1)}\)
Te obrazy zapisujesz jako kolumny po kolei do macierzy - i to jest szukana macierz przekształcenia:
\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 1&0&m-1\\ 0&0&0\\ m^2-1&0&1\end{bmatrix}}\)
Dla drugiej części zadania wystarczy wiedzieć, że macierzą przekształcenia \(\displaystyle{ T\circ T=T^2}\) jest \(\displaystyle{ A^2}\), więc chodzi o znalezienie takich wartości \(\displaystyle{ m}\), dla których zachodzi równość \(\displaystyle{ A^2=A}\).
2) Macierzą przekształcenia odwrotnego jest macierz odwrotna, a więc
\(\displaystyle{ T ^{-1}(3e _{1} +5e _{2} )=A^{-1}\begin{bmatrix}3\\ 5\\ 0\end{bmatrix}}\).
3) skoro masz podane obrazy wektorów bazowych dla T, to wystarczy obliczyć obrazy wektorów bazowych dla przekształcenia Q, a potem zapisać je po kolei kolumnami do macierzy.
Pozdrawiam.