Macierz odwzorowania liniowego - 2 zadania

[Piotrekm89]

Siema,
bardzo proszę o pomoc w tych dwóch zadaniach. Nie wiem jak się za nie zabrać :/

1. Przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ L : \mathbb{R}^{3} \xrightarrow}\) \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{2}}\) określone jest wzorem \(\displaystyle{ L(x; y; z) = (2x; y + z)}\).
Znaleźć macierz tego przekształcenia, jeśli w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{3}}\) i \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{2}}\) zadano odpowiednio bazy \(\displaystyle{ (a_{1}; a_{2}; a_{3})}\) i \(\displaystyle{ (b_{1}; b_{2})}\) ; gdzie \(\displaystyle{ a_{1} = (1; 2; 0) ; a_{2} = (1; 1; 0) ; a_{3} = (0; 0; 1) ; b_{1} = (1; 2) ; b_{2} = (0; 1)}\)
2. Niech

ML = \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&2\\2&1&0\end{bmatrix}}\)

(macierz przekształcenia liniowego L)

Znaleźć \(\displaystyle{ L(1; 0; 2)}\) ; jeśli w przestrzeniach wektorowych \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{3}}\) i \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{2}}\) przyjęto bazy jak w poprzednim zadaniu.

(W 1 zad nie ma tego nawiasu, ale nie wiem jak go usunąć :/)

[BettyBoo]

1) Z definicji macierzy odwzorowania:

\(\displaystyle{ L(a_1)=(2,2),\ L(a_2)=(2,1),\ L(a_3)=(0,1)}\)

Teraz trzeba znaleźć współrzędne każdego z tych wektorów w bazie \(\displaystyle{ (b_1,b_2)}\). Można to zrobić rozwiązując potrójny układ równań (macierzowo)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc|ccc}1&0&2&2&0\\ 2&1&2&1&1\end{array}\right]}\)

Po doprowadzeniu lewej strony do macierzy jednostkowej, po prawej otrzymujesz gotową macierz przekształcenia w podanych bazach.


2) najlepiej to zrobić wykorzystując twierdzenie o zmianie macierzy przekształcenia przy zmianach bazy oraz postać macierzy zmiany bazy przy przejściu od bazy kanonicznej do dowolnej innej:

\(\displaystyle{ C=BM_LA^{-1}}\)

przy czym kolumnami macierzy A są wektory bazy \(\displaystyle{ (a_1,a_2,a_3)}\), a kolumnami macierzy B są wektory bazy \(\displaystyle{ (b_1,b_2)}\). Otrzymaną w ten sposób macierz C należy wymnożyć (z prawej) przez wektor \(\displaystyle{ [1,0,2]^T}\).

Pozdrawiam.